Użyte skróty: Dem. - Demidoviˇ, Sbornik zadaˇ po matematiˇeskomu analizu.
c
c
c
K.-W. II - W.Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część II, Wydanie
dziesiąte zmienione i uzupełnione, W-wa 1974, PWN.
St.I - W.Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część pierwsza,
Wydanie trzecie, W-wa 1975, PWN.
St.II - W.Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych,
część druga, Wyd. drugie popr., W-wa 1975, PWN.
DOBIERANIE GRANIC CAŁKOWANIA W CAŁKACH PODWÓJNYCH I
POTRÓJNYCH
(we współrzędnych kartezjańskich)
Rozważamy całki podwójne (potrójne) po ustalonym obszarze domkniętym i ograniczonym D
w przestrzeni R2 (odpowiednio, po ustalonym obszarze przestrzennym domkniętym i ograniczonym
w R3 ) z pewnej ustalonej funkcji dwóch (odpowiednio - trzech) zmiennych. Zakładamy, że rozważane
całki istnieją, np. rozważana funkcja jest ciągła w rozpatrywanym obszarze, względnie obszar da się
podzielić na skończoną ilość części, w których to założenie jest spełnione.
(a) Całka podwójna
f (x, y) dx dy
D
Jeżeli obszar płaski D jest normalny względem osi Ox, tzn. daje się przedstawić w postaci D =
{(x, y) ∈ R : a
x
b, ϕ(x)
y
ψ(x)}, przy czym ϕ(x)
ψ(x) dla a
x
b, tzn. krzywa
y = ϕ(x)(a
x
b) jest rzeczywiście brzegiem dolnym obszaru D, a krzywa y = ψ(x)(a
x
b) - jego brzegiem górnym, to całka podwójna funkcji f po obszarze D, oznaczana symbolem
ψ(x)
b
f (x, y) dx dy daje się przedstawić w postaci tzw. całki iterowanej
a
D
f (x, y)dy dx, którą dla
ϕ(x)
ψ(x)
b
dx
uproszczenia zapisu (zmniejszenia ilości nawiasów) zapisujemy symbolicznie jako
a
f (x, y)dy.
ϕ(x)
Zauważmy, że lewym brzegiem obszaru D jest wtedy odcinek prostej x = a (ϕ(a)
y
ψ(a)),
a prawym - odcinek prostej x = b (ϕ(b)
y
ψ(b)); odcinki te mogą redukować się do punktu,
jeżeli ϕ(a) = ψ(a) lub odpowiednio ϕ(b) = ψ(b). W każdym przypadku, odcinek a, b jest rzutem
obszaru D na oś Ox, i najmniejszym odcinkiem takim, że obszar D jest zawarty w pasie a x b,
y-dowolne („zasada suwmiarki” - zob. ćwiczenia). Jeżeli krzywe y = ϕ(x) i/lub y = ψ(x) składają się
w istocie z kilku łuków opisanych odrębnymi równaniami, to obszar D (lub, co na jedno wychodzi,
odcinek a, b ) trzeba podzielić na odpowiednią ilość części tak, aby w każdej z nich dolny i górny
brzeg wyrażał się jednolitym równaniem - szukana całka jest wtedy sumą odpowiedniej ilości całek
iterowanych. Zauważmy wreszcie, że (przy ustalonym obszarze) całka zewnętrzna zawsze ma stałe
granice całkowania.
Analogicznie, jeżeli obszar płaski D jest normalny względem osi Oy, tzn. daje się przedstawić
w postaci D = {(x, y) ∈ R : c
y
d, ϕ(y)
x
ψ(y)}, przy czym ϕ(y)
ψ(y) dla c
y
d, tzn. krzywa x = ϕ(y)(c
y
d) jest istotnie brzegiem lewym obszaru D, a krzywa
x = ψ(y)(c y
d) - brzegiem prawym, to całka podwójna daje się przedstawić w postaci całki
ψ(y)
d
iterowanej
c
ψ(y)
d
f (x, y)dxdy - symbolicznie
dy
c
f (x, y)dx . Zauważmy, że dolnym brzegiem
ϕ(y)
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)