To tylko jedna z 11 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
W treści notatki z przedmiotu analiza matematyczna nt. całka różniczki zupełnej, znajdują się 3 strony wzorów, komentarzy, wykresów i instrukcji związanych z całką różniczki zupełnej. Pojęcia pojawiające się w notatce to: obszar jednospójny, różniczka zupełna funkcji, twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej, potencjał pola wektorowego,
Całka różniczki zupełnej.
Niech D - obszar jednospójny,
.
Pytamy czy w obszarze D , aby wyrażenie było różniczką zupełną funkcji U w D ?
Oczywiście musi zachodzić i .
Wtedy
Z założenia
Zatem warunkiem koniecznym istnienia funkcji U jest równość
.
Stwierdzenie
Niech D - obszar jednospójny,
.
Wtedy
, jest różniczką zupełną funkcji U,
ponadto:
, gdzie, - ustalony punkt - punkt zmienny,
- krzywa regularna, ,
czyli
. (*)
dla dowolnej krzywej .
Uzasadnienie wzoru (*)
Dla
mamy .
Podobnie dla
otrzymujemy .
Stąd
na podstawie twierdzenia o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowania. Zatem
.
Uwaga
Wektor jest gradientem funkcji U, .
Definicja
Funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego W.
Przykład
Wykazać, że jest różniczką zupełną pewnej funkcji i wyznaczyć tę funkcję (potencjał).
oraz .
.
14
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)