Całka oznaczona - Funkcja pierwotna

Nasza ocena:

5
Pobrań: 7
Wyświetleń: 889
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Całka oznaczona - Funkcja pierwotna - strona 1 Całka oznaczona - Funkcja pierwotna - strona 2 Całka oznaczona - Funkcja pierwotna - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 10: Całka oznaczona semestr zimowy; rok akademicki 2012/2013 Pole „trójk ˛ ata parabolicznego” Problem. Chcemy obliczy´c pole  s  figury  S  ograniczonej prost ˛ a  y  = 0, prost ˛ a  x  = 1 i wykresem funkcji  f  ( x ) =  x 2. Rozwi ˛ azanie przybli˙zone. Dzielimy odcinek [0 ,  1] na n odcinków o równej długo´sci: 0 , 1 n , 1 n , 2 n , . . . , n −  1 n ,  1  . Suma pól prostok ˛ atów, których podstawy s ˛ a równe tym odcinkom a wysoko´sci kwadratom ich lewych ko´nców -sensowne przybli˙zenie 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x x^2 Rysunek 1: Obliczanie przybli˙zonej warto´sci pola figury  S Pole „trójk ˛ ata parabolicznego"- obliczenia Oznaczmy pole figury odpowiadaj ˛ acej podziałowi odcinka na  n  cz˛e´sci przez  sn . Mamy sn  = n i =1 1 n i −  1 n 2 = 1 n 3 n i =1 ( i −  1) 2 = ( n −  1) n (2 n −  1) 6 n 3 . Pole figury jest równe lim n→∞ sn  = lim n→∞ ( n −  1) n (2 n −  1) 6 n 3 = lim n→∞ 2 n 3  −  3 n 2 +  n 6 n 3 = 1 3 (1) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1. Załózmy, ˙ze funkcja  f  jest ci ˛ agła na przedziale [ a, b ]. Całk˛e oznaczon ˛ a z funkcji ci ˛ agłej f  na przedziale [ a, b ] definiujemy wzorem b a f  ( x ) dx  = lim n→∞ b − a n n k =1 f a  + ( k −  1) b − a n . (2) 1 Korzystaj ˛ ac z wprowadzonej notacji, pole „trójk ˛ ata parabolicznego” mo˙zna wyrazi´c nast˛epuj ˛ aco: 1 0 x 2 dx. Definicja całki oznaczonej dla funkcji przedziałami ciagłej Uwaga 1. Wzorem (2) mo˙zna zdefiniowa´c całk˛e oznaczon ˛ a dla pewnych funkcji nieci ˛ agłych, np. dla funkcji przedziałami ci ˛ agłych. Funkcj˛e  f  nazywamy przedziałami ci ˛ agł ˛ a na przedziale [ a, b ], je˙zeli istniej ˛ a liczby  c 1 , c 2 , . . . , ck  takie, ˙ze: (i) a 

(…)

…], to
z
˛
b
f (x)dx = F (b) − F (a),
a
gdzie F oznacza dowolna funkcj˛ pierwotna funkcji f na tym przedziale.
˛
e
˛
2
(4)
Twierdzenie to ma intepretacj˛ fizyczna: Droga przebyta przez punkt materialny na przedziale czasowym [a, b] jest równa
e
˛
V (b) − V (a), gdzie V jest dowolna funkcja pierwotna pr˛ dko´ci v na [a, b]. Precyzyjny dowód Tw. Newtona-Leibniza
˛
˛
˛ e s
˙
mozna znale´ c np. ksiazce W. Rudina…
… odpowiadajacego funkcji f (x) = x i odcinkowi [1, b].

˛
Pole to jest równe:
b
1
dx = [ln x]b = ln b − ln 1 = ln b.
1
1 x
Zastosowania całki oznaczonej— obliczanie pola figur— c.d.
y
y =
0
1
x
x
b
1
Rysunek 3: Logarytm naturalny liczby b > 1 jako pole trapezu krzywoliniowego odpowiadajacemu funkcji f (x) =
˛
odcinkowi [1, b].
1
x
i
Zastosowania całki oznaczonej— droga przebyta przez punkt materialny
˙
Punkt…
… f (x) pomnozonemu przez (-1).
Zastosowanie do obliczania drogi przebytej w ruchu zmiennym
˙ ˛
Punkt materialny porusza si˛ ruchem prostoliniowym z pr˛ dko´cia v(t) zalezna od czasu. Chcemy znale´ c drog˛ s przee
e s ˛

e
˙
byta przez ten punkt w przedziale czasowym [a, b]. Zakładamy, ze funkcja v jest ciagła.
˛
˛
Podzielmy przedział [a, b] na n odcinków o równej długo´ci:
s
[t0 , t1 ), [t1 , t2…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz