To tylko jedna z 10 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Całka nieoznaczona Definicja Założmy, że funkcja f jest funkcją rzeczywistą określoną na pewnym przedziale. Każdą funkcję F , która spełnia w tym przedziale warunek F ( x ) = f ( x ) , nazywamy funkcją pierwotną do funkcji f . Przykład Wyznacz funkcję pierwotną do funkcji f ( x ) = cos x. Ile różnych funkcji pierwotnych do funkcji f potrafisz wskazać? 2 Fakt • Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f w pewnym przedziale, to dla dowolnej stałej C ∈ R funkcja F + C jest funkcją pierwotną funkcji f . • Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f , określonej w pewnym przedziale, jest złożony z funkcji Φ = F + C , gdzie C ∈ R a F jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f . 3 Definicja (Całki nieoznaczonej) Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f w pewnym przedziale, to zbiór wszystkich funkcji pierotnych nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy symbolem f ( x ) dx. Zatem f ( x ) dx = F ( x ) + C , gdzie C ∈ R a F jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f . Funkcję f nazywamy funkcją podcałkową , a f ( x ) dx wyrażeniem podcałkowym . Twierdzenie Każda funkcja ciągła w pewnym przedziałe jest całkowalna w tym przedziale (istnieje całka nieoznaczona tej funkcji). 4 Własności Całki nieoznaczonej Załóżmy, że funkcje f i g są ciągłe w pewnym przedziale. Wówczas • f ( x ) dx = f ( x ) , • f ( x ) dx = f ( x ) + C , • a · f ( x ) dx = a · f ( x ) dx , a ∈ R , • f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx. 5 Całki nieoznaczone podstawowych funkcji elementarnych 0 dx = C a dx = ax + C x α dx = xα +1 α + 1 + C α = − 1 1 x dx = ln |x| + C e x dx = ex + C a x dx = ax ln a + C 6 sin x dx = − cos x + C cos x dx = sin x + C 1 cos2 x dx = tg x + C 1 sin2 x dx = − ctg x + C 1 1 + x 2 dx = arctg x + C 1 √ 1 − x 2 dx = arcsin x + C 7 Przykłady − 3 x 4 + 2 x 3 − 5 x 2 + 1 x 3 dx (2 x 2 − 3) √ x dx ( 5 cos x + 3 sin x ) dx ctg 2 x dx 3 e x − 4 1 + x 2 − 1 √ 1 − x 2 dx 8 Całkowanie przez podstawianie Twierdzenie Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to f ( ϕ ( x ) )
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)