Całka nieoznaczona - ogólnie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 49
Wyświetleń: 672
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Całka nieoznaczona - ogólnie - strona 1 Całka nieoznaczona - ogólnie - strona 2 Całka nieoznaczona - ogólnie - strona 3

Fragment notatki:


1 Całka nieoznaczona Definicja Założmy, że funkcja f  jest funkcją rzeczywistą określoną na pewnym przedziale. Każdą funkcję F  , która spełnia w tym przedziale warunek F  ( x ) =  f  ( x ) , nazywamy  funkcją pierwotną  do funkcji f  . Przykład Wyznacz funkcję pierwotną do funkcji f  ( x ) = cos  x. Ile różnych funkcji pierwotnych do funkcji f  potrafisz wskazać? 2 Fakt •  Jeżeli F  jest funkcją pierwotną funkcji  f  w pewnym przedziale, to dla dowolnej stałej C ∈  R  funkcja  F  +  C  jest funkcją pierwotną funkcji f  . •  Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f  , określonej w pewnym przedziale, jest złożony z funkcji Φ =  F  +  C  , gdzie C ∈  R  a  F  jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji  f  . 3 Definicja (Całki nieoznaczonej) Jeżeli F  jest funkcją pierwotną funkcji  f  w pewnym przedziale, to zbiór wszystkich funkcji pierotnych nazywamy  całką nieoznaczoną funkcji f  i oznaczamy symbolem f  ( x )  dx. Zatem f  ( x )  dx  =  F  ( x ) +  C , gdzie C ∈  R  a  F  jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji  f  . Funkcję f  nazywamy  funkcją podcałkową , a  f  ( x )  dx  wyrażeniem podcałkowym . Twierdzenie Każda funkcja ciągła w pewnym przedziałe jest całkowalna w tym przedziale (istnieje całka nieoznaczona tej funkcji). 4 Własności Całki nieoznaczonej Załóżmy, że funkcje f i g są ciągłe w pewnym przedziale. Wówczas •    f  ( x )  dx    =  f  ( x )  , • f  ( x )  dx  =  f  ( x ) +  C , • a · f  ( x )  dx  =  a · f  ( x )  dx , a ∈  R , • f  ( x ) +  g ( x )  dx  = f  ( x )  dx  + g ( x )  dx. 5 Całki nieoznaczone podstawowych funkcji elementarnych 0  dx  =  C a dx  =  ax  +  C x α dx  = xα +1 α  + 1 +  C α  =  − 1 1 x dx  = ln  |x|  +  C e x dx  =  ex  +  C a x dx  = ax ln  a +  C 6 sin  x dx  =  −  cos  x  +  C cos  x dx  = sin  x  +  C 1 cos2  x dx  = tg  x  +  C 1 sin2  x dx  =  − ctg  x  +  C 1 1 +  x 2 dx  = arctg  x  +  C 1 √ 1  − x 2 dx  = arcsin  x  +  C 7 Przykłady − 3 x 4 + 2 x 3  −  5 x 2 + 1 x 3 dx (2 x 2  −  3) √ x dx ( 5 cos  x  + 3 sin  x )  dx ctg 2 x dx      3 e x − 4 1 +  x 2 − 1 √ 1  − x 2      dx 8 Całkowanie przez podstawianie Twierdzenie Jeżeli F  jest funkcją pierwotną funkcji  f  , to f  (  ϕ ( x ) )  ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz