Baza przestrzeni wektorowej 1) Sprawdzić liniową zależność (niezależność) wektorów: a) v 1 = (1, 0, -2), v 2 = (-1, 1, -1)
b) v 1 = (-1, 1), v 2 = (3, 0), v 3 = (2, -3). Czy wektory te są bazą przestrzeni wektorowej , n = 2, 3 z działaniami naturalnymi?
2) Sprawdzić, czy układ wektorów x = (-1, 0, 1), y = (2, 1, -1), z = (0, -2, 1) jest bazą przestrzeni . Jeśli tak, wyznaczyć współrzędne wektora u = (3, -5, 2) w tej bazie. Podać rozkład wektora u w bazie kanonicznej. Co można powiedzieć o liniowej niezależności wektorów x, y, z, u?
3) Sprawdzić, czy wektory f 1 (x) = 3x 2 + 1, f 2 (x) = -2x, f 3 (x) = x 2 - x, są bazą przestrzeni wektorowej , gdzie oraz , 4) Do wektorów v 1 = (-1, 0, 2), v 2 = (2, 1 -1) dobrać taki wektor v 3 ∈ℜ 3 , by układ wektorów v 1 , v 2 , v 3 był a) liniowo zależny, b) liniowo niezależny, w przestrzeni 5) W przestrzeni wektorowej z działaniami naturalnymi, dane są wektory oraz . Sprawdzić, czy układ wektorów generuje ℜ 3 .
6) W przestrzeni wektorowej z działaniami naturalnymi, dane są wektory , oraz . Sprawdzić, czy wektory: generują ℜ 2 .
7 ) W przestrzeni wektorowej z działaniami naturalnymi, dane są wektory x = (1, 0, 1), y = (0, 1, 1), z = (1, 1, 0). Sprawdzić, czy układ wektorów: a) x ⊕ y, y ⊕ z, z ⊕ x
b) , jest bazą przestrzeni 8 ) Wektor x ∈ℜ 3 w bazie {w 1 =(0, -1, 1), w 2 = (1, 0, 2), w 3 = (0, 0, 1)} ma współrzędne [-1, 3, 2]. Wyznaczyć jego współrzędne w bazie kanonicznej.
9 ) Wektor x ∈ℜ 3 daje się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów u 1 = (1, 3, -1), u 2 = (-2, -3, 1) ze współczynnikami 2 i 1. Wyznaczyć współrzędne wektora x w bazie {v 1 = (1, 0, 3), v 2 = (-2, 4, 0), v 3 = (0, -3, 1)}.
10 ) W przestrzeni wektorowej wektor w bazie ma współrzędne [1,-3]. Podać rozkład wektora w bazie kanonicznej oraz wyznaczyć jego współrzędne w bazie . Uzasadnić krótko (tzn. powołując się na znane definicje i twierdzenia) czy układ wektorów jest a) liniowo niezależny, b) generuje ?
1 1 ) Wyznaczyć wszystkie wartości m∈ℜ, dla których wektory v 1 = (3, 2, -1), v 2 = (1, -m, 3), v 3 = (1, 0, m) są liniowo zależne w przestrzeni wektorowej .
12 ) Wyznaczyć wszystkie wielkości parametru , dla których wektory są liniowo niezależne w przestrzeni wektorowej , gdzie , , oraz .
13 ) W przestrzeni wektorowej działania określone są następująco:
dla dla . Sprawdzić
liniową niezależność wektorów:
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)