analiza matematyczna zadania zestaw 11

ANALIZA - ZESTAW nr 11 (WMS, rok 1, gr. 4, sem. letni 2011-2012) 1. Wyznaczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanej F (x, y) = 0, w otoczeniu punktu P0, danej równaniem: a) x 2 − xy + 2y2 + x − y = 0, P0 = 0, 1 2 ; b) xy − ln y − 1 = 0, P0 = 2 e , e ; c) x 2y − e2y = 0, P0 = (e, 1). 2. Wyzanczyć ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) przy warunku g(x, y) = 0: a) f (x, y) = x 2 + xy + y2, g(x, y) = x + y − 1; b) f (x, y) = x 3 + y3, g(x, y) = x + y − 2, x ≥ 0, y ≥ 0; c) f (x, y) = 1 x + 1 y , g(x, y) = 1 x2 + 1 y2 − 1; d) f (x, y) = x + y, g(x, y) = e x+y − xy − 1. 3. Znaleźć ekstrema warunkowe: a) f (x, y) = x + y, 1 x2 + 1 y2 = 1 a2 ; b) f (x, y, z) = x − 2 − z, x + y 2 − z2 = 1; c) f (x1, . . . , xn) = x 2 1 + . . . + x 2 n, x1 a1 + · · · + xn an = 1; d) f (x1, . . . , xn) = x p 1 + . . . + x p n, x1 + . . . + xn = a, a  0, p  1. 4. Znaleźć ekstrema funkcji f (x, y, z) = x + y + z przy warunku g(x, y, z) = xyz − c 3 = 0, gdzie c  0, x  0, y  0, z  0. 5. Na elipsoidzie x2 25 + y2 9 + z2 4 = 1 znaleźć punkt najbardziej odległy od początku układu współrzędnych. 6. Znaleźć ekstrema funkcji f (x, y) = xy przy warunku x2 + y2 = 2a2 (a  0). ... zobacz całą notatkę