To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Tw. Bolzano-Cauchy'ego
Jeśli f:[a,b] jest ciągła oraz f(a)*f(b)0.
Dzielimy przedział [a,b] na dwie połowy. Jeśli f((a+b)/2)=0 to c=(a+b)/2.
Jeśli f((a+b)/2)≠0 oznaczamy przez [a1,b1] tę połowę na końcach której f zmienia znak.
Itd.
Albo po skończonej ilości kroków trafimy na miejsce zerowe, albo otrzymamy ciągi 1. (an), (bn) o następujących własnościach:
2. (an) jest słabo rosnący i ograniczony
3. (bn) jest słabo malejący i ograniczony
4. f(an)0
5. bn-an=0,5n(b-a)
Tw. Banacha (dla funkcji f:R R)
Jeśli f:RR jest zwężająca to ma dokładnie jeden punkt stały c. Ponadto dla dowolnego x0∈R ciąg (xn) określony wzorem xn=f(xn-1), n∈N jest zbieżny do c.
f jest zwężająca jeśli: c jest punktem stałym jeśli f(c)=c.
Dowód
Pokażemy że (xn) spełnia warunek Cauchy'ego Zatem Więc ciąg (xn) spełnia war. Cauchy'ego. Ponieważ (R,| | ) jest zupełna więc istnieje granica Wówczas to oznacza że f(c)=c.
Jedyność: załóżmy że f(a)=a wówczas |a-c|=|f(a)-f(c)|≤α*|a-c| stąd wynika że a=c bo 0≤α≤1
Zastosowanie do przybliżonego rozwiązywania równań
1. Metoda połowienia (w oparciu o tw. Banacha-Cauchy'ego:
Przyk. Wyznaczyć rozwiązanie równania x3+x-3=0 w przedziale z dokładnością do 0,1.
f(x)=x3+x-3 jest ciągła; f(1)= -10 istnieje rozwiązanie równania f(x)=0
x1=(1+2)/2=1,5
f(1,5)0
x2=(1+1,5)/2=1,25
f(1,25)0
x3=(1+1,25)/2=1,125
x4=(1,25+1,25)/2=1,1875
2. Metoda iteracyjna (zastosow. Tw. Banacha)
Przykł Wyznaczyć rozw. równ. 4x-sinx-2=0 z dokł do 0,1
¼(sinx+2)=x
f(x)=¼(sinx+2)
|f(x)-f(y)|≤|¼ sinx + ½ - ¼ siny - ½|= ¼|sinx-siny|= ¼|2sin (x-y)/2 cos(x+y)/2|≤ ½|sin(x-y)/2|*|cos(x+y)/2|≤ ½|(x-y)/2|= ¼|x-y|
więc f(x)= ¼(sinx+2) jest zwężająca na R
x0=0;
x1=f(0)=½
x2=f(x1)≈0,6
|xm-c|=( (¼)m)/(1-¼)*|0-½|=2/3*(¼)m m ≥ 2
Druga iteracja daje pierw. z przybliżeniem do 0,1.
Wykazać że granica .
Rozważmy granicę sinx ≤ x ≤ tgx //:sinx (x∈( 0;Π )
1≤ x/sinx ≤ 1/cosx
1 1 1
więc a stąd więc
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)