ALGEBRA LINIOWA - macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych. 24. Macierze - definicja, rodzaje własności, działania na macierzach, iloczyn tensorowy (w sensie Kroneckera), iloczyn macirzy (Cauchy'ego), wykonalność mnożenia.
Macierz prostokątna - Jeżeli m,n są ustalonymi liczbami naturalnymi i M={1,...,m}, N={1,...,N} to X=MxN. Oraz weźmy niepusty zbiór Y i określimy funkcję f:X→Y (fFun(X,Y)). Macierzą prostokątną nazywamy funcję f z m - wierszami i n - kolumnami przyjmującą wartości w zbiorze Y.
f=[f j,k ] j= 1,m , k= 1,n = Macierz transponowana f T =[f kj ] k= 1,n , j= 1,m - jest to macierz otrzymana z macierzy f przez zamianę wierszy na kolumny i kolumn na wiersze.
Wymiar macierzy - Jeśli macierz A ma m- wierszy i n- kolumn to macierz jest rozmiaru m x n.
Wymiar macierzy transponowanej A T wynosi n x m. Jeśli ilość kolumn jest równa ilości wierszy n to wymiar macierzy jest n x n i taką macierz nazywamy macierzą kwadratową.
Suma macierzy - A=[ a ij ] i= 1,m , j= 1,n i B=[ b ij ] i= 1,m , j= 1,n A+B=C=[ c ij ] i= 1,m , j= 1,n gdzie c ij =a ij +b ij i= 1,m , j= 1,n np.:
i to
Iloczyn macierzy przez liczbę - c*A=[c* a ij ] i= 1,m , j= 1,n np: to Iloczyn tensorowy ( w sensie Kroneckera)
A=[ a ij ] i= 1,m , j= 1,n i B=[ b kl ] i= 1,p , j= 1,r A B=[a ij *B] i= 1,m , j= 1,n np:
oraz to :Iloczyn macierzy w sensie Cauchy'ego - A=[ a ij ] i= 1, m , j= 1,n i B=[ b jk ] j= 1,n , k= 1,p A*B=C=[c ik ] i= 1,n , k= 1,p np: oraz to Wykonalność mnożenia - Mnożenie macierzy w sensie Cauchy'ego jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn w pierwszym czynniku mnożenia jest równa liczbie wierszy w drugim czynniku mnożenia.
25. Wektor jako macierz jednowierszowa lub jednokolumnowa. Iloczyn skalarny wektorów.
Wektor jako macierz - Każdy wektor można przedstawić w postaci macierzy jednowierszowej lub jednokolumnowej. Np. wektory:
Iloczyn skalarny wektorów - jest to mnożenie wektora a przez wektor transponowany b T .
Iloczyn macierzy A*B jest to element c ik ,gdzie c ik jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza przez k-atą kolumnę.
26.Wyznacznik macierzy kwadratowej i jego własności.
Wyznacznik macierzy kwadratowej - Suma jest brana po wszustkich n! - permutacjach p=(p1, p2, ...,pn) ciągu (1,2 ...,n)
inv(p) - liczba inwersji w permutacji p, gdzie inwersja oznacza nieporządek tzn sytuację, w której liczba większa poprzedza liczbę mniejszą.
(…)
… (jeśli istnieje) ma wyznacznik równy 0.
30. Macierz odwrotna i jej własności.
31. Układy równań liniowych. Wzory Cramera.
Równanie liniowe z m-niewiadomymi - równanie . Jeżeli b=0 to równanie liniowe nazywamy równaniem jednorodym (tzn. takie które ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie: ).
Układem n-równań liniowych z n-niewiadomymi nazywamy układ:
(1)
Macierzą układu (1) n-równań liniowych z n-nieiwadomymi…
… macierzy dołączonej:
33. Rozwiązanie układu równań liniowych matodą eliminacji Gaussa-Jordana.
i) wypisujemy macierz dołączoną układu oddzielając macierz wyrazów wolnych pionową kreską.
ii) wykonując opisane poniżej operacje doprowadzamy macierz układu do postaći macierzy jednostkowej. Wówczas jedynki na odpowiednich miejscach oznaczają niewiadome, a liczby za kreską są ich wartościami /rozwiązaniami…
…
ALGEBRA LINIOWA - macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.
24. Macierze - definicja, rodzaje własności, działania na macierzach, iloczyn tensorowy (w sensie Kroneckera), iloczyn macirzy (Cauchy'ego), wykonalność mnożenia.
Macierz prostokątna - Jeżeli m,n są ustalonymi liczbami naturalnymi i M={1,...,m}, N={1,...,N} to X=MxN. Oraz weźmy niepusty zbiór Y i określimy funkcję f:X→Y (fFun(X,Y…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)