To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wyznacznik – w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M, o
współczynnikach z pierścienia przemiennego R (w szczególności, ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych),
pewien element tego pierścienia (oznaczany symbolem detM), która spełnia następujące warunki:
1.
2.
wartością tej funkcji na macierzy 1x1 [a] jest a,
jeśli
jest macierzą kwadratową stopnia n1, to wartość tej funkcji dla macierzy M równa się
, gdzie j jest dowolną liczbą naturalną z zakresu od 1 do n, a Mi,j macierzą stopnia n-1,
powstałą z macierzy M poprzez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Funkcja o powyższych własnościach wyznaczona jest jednoznacznie. Wyznacznikiem macierzy M nazywamy
wartość detM tej funkcji dla macierzy M.
Wyznacznik można również traktować jako funkcję, nie samej macierzy, a jej współczynników
.
Jest on wówczas wielomianem n2 zmiennych o współczynnikach z R.
Wyznacznik macierzy kwadratowej M oznaczany jest czasami przez | M | . Ta notacja może jednak prowadzić do
nieporozumień, ponieważ używa się jej do zapisu norm macierzy lub wartości bezwzględnej. Zapis z użyciem
pionowych kresek jest jednak szeroko rozpowszechniony w matematyce.
Dla macierzy
wprowadzamy oznaczenie
.
Istnieje jeszcze jeden (równoważny) sposób wprowadzenia pojęcia wyznacznika (zob. definicja permutacyjna
poniżej), jednak tak wprowadzona definicja (tzw. definicja rekurencyjna wyznacznika) ukazuje efektywną
metodę obliczania wyznaczników macierzy kwadratowych wyższych stopni.
W szczególności, prawdziwe jest następujące twierdzenie Laplace'a:
Jeżeli M jest macierzą taką jak wyżej oraz i jest liczbą naturalną nie większą niż n, to zachodzą
równości
. (rozwinięcie wyznacznika względem i-tego wiersza)
oraz
. (rozwinięcie wyznacznika względem i-tej kolumny).
Definicja permutacyjna
Jeżeli M jest macierzą taką, jak wyżej, to
,
gdzie Sn oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru
permutacji
.
, zaś Inv(σ) oznacza liczbę inwersji danej
Przykładowo składnik a13a21a34a42 w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja
indeksów
,
ma trzy inwersje, mianowicie: (3,1), (3,2) i (4,2), skąd Inv(τ) = 3 oraz ( − 1)3 = − 1.
Wyznacznik ogólny
Wyznacznikiem ogólnym z parametrem p nazywamy:
,
gdzie M, Sn, Inv(σ) jak wyżej.
Przykładowo dla p = − 1 otrzymujemy wyznacznik, zaś dla p = 1 otrzymujemy permanent.
Definicja wyznacznika jako odwzorowania wieloliniowego
Jeżeli macierz
potraktujemy jako ciąg n kolumn (każda kolumna to element z przestrzeni liniowej
), to istnieje dokładnie jedno antysymetryczne odwzorowanie wieloliniowe
takie, że
det(I) = 1. Wartość odwzorowania det(A) nazywamy wyznacznikiem macierzy A.
Własności
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika.
Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy zmienia znak wyznacznika, nie zmieniając
jego wartości bezwzględnej.
Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy są proporcjonalne (np. są równe), wyznacznik ma
wartość zero.
Jeśli jakiś
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)