Zestaw 1.
Elementy logiki i teorii mnogo´
sci
Zadanie 1. Uzupełni´ tabele
c
˛
p
0
1
0
1
q
0
0
1
1
p∧q
p∨q
p⇒q
p⇔q
Zadanie 2. Udowodni´ tautologie:
c
a) (p ) ⇔ p,
b) (p ⇒ p) ⇒ p,
c) [q ⇒ p ] ⇔ (p ⇒ q) ,
d) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) ,
e) (p ∧ q) ⇔ [p ∨ q ] ,
f ) (p ∨ q) ⇔ [p ∧ q ] .
Zadanie 3. Sprawdzi´, które z ponizszych zda´ jest tautologia:
c
n
˛
˙
a) [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] ,
b) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ [p ∧ (p ∨ q)] ,
c) [(p ∧ q) ⇒ r] ⇔ [p ∧ (q ⇒ r)] ,
d) p ⇒ [q ⇒ (p ∧ q)] .
˛ ˛
Zadanie 4.* Niech A1 , . . . , An beda zdaniami logicznymi. Niech ai = 0 (ai = 1) oznacza,
ze zdanie Ai jest fałszywe (prawdziwe). Wyznaczy´ wszystkie ciagi (a1 , . . . , an ), dla
c
˛
˙
których zdanie
a) (. . . ((A1 ⇒A2 ) ⇒A3 ) ⇒ . . .)⇒An−1 )⇒An
b) A1 ⇒(A2 ⇒ ( . . . ⇒(An−2 ⇒ (An−1 ⇒An )) . . .)
jest prawdziwe.
Zadanie 5. Niech A, B ⊂ X. Poda´ definicje zbiorów1 :
c
˛
a) A ∪ B,
b) A ∩ B, c) A , d) A\B,
e) A ÷ B, f) A × B,
g) ∅,
h) X.
Zadanie 6. Uzasadni´ ponizsze równo´ i równowazno´
c
sci
˙
˙ sci:
a) E ⊂ F ⇔ (E ∩ F = E) ⇔ E ∪ F = F,
b) (A ∩ B) = A ∪ B oraz (A ∪ B) = A ∩ B ,
c) (E ∩ F ) ∪ G = (E ∪ G) ∩ (F ∪ G) ,
d) (E ∪ F ) ∩ G = (E ∩ G) ∪ (F ∩ G) ,
e) A\ (B\G) = (A\B) ∪ (A ∩ G) ,
1W
podpunkcie e) symbol ÷ oznacza róz nic e symetryczna.
˛
˛
˙
1
f ) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) ,
g) A ×
Ai =
i∈I
(A × Ai ) oraz A ×
i∈I
Ai =
i∈I
(A × Ai ) .
i∈I
Zadanie 7. Zbiór przedstawiony na ponizszym wykresie wyrazi´ algebraicznie przy poc
˙
mocy symboli logicznych (tj. przy pomocy alternatywy oraz koniunkcji zda´ ).
n
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
Figure 1: U´
smiech.
Zadanie 8. Ponizsze zbiory przedstawi´ graficznie:
c
˙
a) E = (x, y) ∈ R × R : x2 + y 2
1 ,
b) G = E × [0, 2π], gdzie E to zbiór zdefiniowany powyzej,
˙
c)* H = {(x, y, z) ∈ G : x = cos α, y = sin α, z = α}, gdzie G to zbiór zdefiniowany
powyzej,
˙
+∞
z2n−1 , z2n , dla pewnego z ∈ R+ ,
d)*
n=−∞
e) I = (x, y) ∈ R2 : ∃n ∈ R : y = nx ,
f ) J = (x, y) ∈ R2 : ∀n ∈ N : y = nx .
2
Odpowiedzi
Zadanie 3: a) jest; b) jest; c) nie jest; d) jest;
Zadanie 5:
a) A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B};
b) A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B};
c) A = {x ∈ X : x ∈ A};
/
d) A\B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B};
/
e) A ÷ B = {x ∈ X : (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ A)};
/
/
f ) A × B = {(x, y) ∈ X × X : x ∈ A ∧ y ∈ B};
g) ∅ = {x ∈ X : x ∈ X};2
/
h) X = {x ∈ X : x = x}.3
Zadanie 8:
a) Koło o ´
srodku w punkcie (0, 0) i promieniu 1;
b) Walec o wysoko´ 2π, którego podstawa jest koło o ´
sci
˛
srodku w punkcie (0, 0)
i promieniu 1;
c)* Spirala zawart w pobocznicy walca z przykładu b) łaczaca punkt (1, 0, 0) z
˛ ˛
punktem (1, 0, 2π);
d)* R+ ;
e) R2 \ (x, y) ∈ R2 : x = 0, y = 0 ;
f ) {(0, 0)}.
2 Zamiast
3 Zamiast
x ∈ X mozy wystapi´ dowolna sprzeczna forma zdaniowa zmiennej x.
/
˛ c
˙
x = x moz e wystapi´ dowolna tautologia.
˛ c
˙
3
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)