1. Pojęcia podstawowe, oznaczenia
1.1. Zbiory
Pojęcia pierwotne:
─ zbiór
─ element zbioru
─ przynależność elementu x do zbioru A
x∈A
Konstruktor zbioru:
{ x | P(x) } oznacza „zbiór elementów x, takich że P(x) jest prawdziwe”, gdzie P(x) jest
pewnym stwierdzeniem (predykatem) o elementach x
{ x∈A | P(x) } oznacza „zbiór elementów x należących do zbioru A, takich że
P(x) jest prawdziwe”
Zawieranie się zbiorów:
Jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B, to mówimy, że zbiór A jest zawarty w
zbiorze B, co zapisujemy:
A ⊆ B ⇔ ( ∀x ) ( x∈A ⇒ x∈B )
Równość zbiorów:
Dwa zbiory są równe, jeśli mają te same elementy.
A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A )
A = B ⇔ ( ∀x ) ( x∈A ⇔ x∈B )
Podzbiór właściwy:
Zbiór A jest podzbiorem właściwym zbioru B, jeśli zbiór A zawiera się w zbiorze B i równocześnie
zbiór A nie jest równy zbiorowi B.
A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B ∧ A ≠ B )
Operacje na zbiorach:
─ Suma teoriomnogościowa, unia
A ∪ B ⇔ { x | x∈A ∨ x∈B }
─ Iloczyn teoriomnogościowy, przecięcie
A ∩ B ⇔ { x | x∈A ∧ x∈B }
─ Różnica zbiorów
A − B ⇔ { x | x∈A ∧ x∉B }
Zbiór potęgowy nad A:
Zbiór potęgowy 2A to zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A
2A = { X | X ⊆ A }
Przykład:
A = {0, 1, 2}
2A = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2} }
Przykład:
2Ø = {Ø}
Moc zbioru:
Moc #A zbioru A zawierającego skończoną liczbę elementów jest liczbą jego elementów.
Przykład:
A = {0, 1, 2}
#A = 3
#2A = 23 = 8
Iloczyn kartezjański:
Para uporządkowana (a, b) składa się z elementu a∈A i b∈B wziętych w tym właśnie porządku.
Iloczynem (produktem) kartezjańskim A × B zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich
uporządkowanych par (a,b), takich że a∈A i b∈B.
A × B ⇔ { (a,b) | a∈A ∧ b∈B }
Przykład:
A = {0, 1, 2}
A × A = { (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2) }
#A = 3
#(A×A) = 32 = 9
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)