Zadania cz. 2

Zestaw II
1. Z urny zawierającej 2 białe i 3 czarne kule wybrano próbkę złożoną z trzech kul. Znajdź
rozkład zmiennej losowej ξ wyrażającej liczbę białych kul w próbce. Oblicz
prawdopodobieństwo P(ξ ≥ 1) .
⎧ ⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞
⎪ ⎜ ⎟⎜
⎟
⎜ k ⎟⎜ 3 − k ⎟
⎠ dla k = 0,1,2
⎪ ⎝ ⎠⎝
⎪
;
Odp.: P(ξ = k ) = p k = ⎨
⎛ 5⎞
⎜ ⎟
⎪
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
⎪
⎪ 0
dla k = 3
⎩
2. Zmienna losowa X posiada rozkład:
1
2
xi
2 / 15
1/ 3
pi
P(ξ ≥ 1) =
9
10
3
4
5
4 / 15
1/ 5
?
Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X.
0 dla x ≤ 1
⎧
⎪ 2 / 15 dla x ∈ (1;2]
⎪
⎪
⎪ 7 / 15 dla x ∈ (2;3]
Odp.: F ( x ) = ⎨
⎪11 / 15 dla x ∈ (3;4]
⎪14 / 15 dla x ∈ (4;5]
⎪
⎪
1 dla x 5
⎩
3. Rzucamy dwie kostki do gry. Oznaczmy przez X 1 zmienną losową przyjmującą wartości
równe liczbie oczek na pierwszej kostce, a przez X 2 zmienną losową przyjmującą wartość
1, o ile na pierwszej i na drugiej kostce jest piątka, natomiast zero w pozostałych
przypadkach.
a) Znajdź rozkład zmiennej losowej X = X 1 + X 2 .
b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X i wykonać jej wykres.
c) Oblicz P(4 ≤ X 6
1/6
1/6
5/36
7/36
5
36
1
1
4. Sprawdź czy funkcja pi = f (i ) = −
dla i = 1,2,3,... jest rozkładem
i i +1
prawdopodobieństwa zmiennej losowej I . Oblicz prawdopodobieństwo P(I ≥ 3) .
Odp.: TAK
1
P ( I ≥ 3) =
3
5. Dana jest zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym p k = P ( X = k ) = pq k −1 dla
k = 1,2,... gdzie 0 0 .
k!
Sprawdź warunek unormowania. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej
losowej X . Wyznacz funkcję tworzącą momenty, funkcję charakterystyczną, funkcję
tworzącą.
Odp.: EX = λ , EX 2 = λ , M (t ) = e
(
λ e t −1
) , ϕ (t ) = e λ (e −1) , s(z ) = e λ ( z −1)
it
+∞
Wskazówka:
xk
∑ k! = e x
k =0
7. Linia automatyczna przy normalnym ustawieniu może wypuścić przedmiot wykonany
wadliwie z prawdopodobieństwem p . Znaleźć średnią ilość przedmiotów wypuszczonych
pomiędzy dwoma wadliwymi przedmiotami.
1
Odp.: EX =
p
8. Z partii 250 sztuk towaru, zawierającej 18 sztuk wadliwych wylosowano bez zwrotu próbę
10 elementową. W procesie kontroli wyrywkowej partia zostanie odrzucona, gdy w próbce
znajdzie się 2 lub więcej sztuk wadliwych. Oblicz prawdopodobieństwo przyjęcia danej
partii towaru.
⎛18 ⎞⎛ 232 ⎞ ⎛18 ⎞⎛ 232 ⎞
⎜ ⎟⎜
⎜ 0 ⎟⎜ 10 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎜ 9 ⎟
⎟ ⎜ ⎟⎜
⎟
⎠ + ⎝ ⎠⎝
⎠
Odp.: ⎝ ⎠⎝
250 ⎞

(…)

…: wartość oczekiwaną, wariancję, funkcję tworzącą momenty, funkcję
charakterystyczną oraz funkcję tworzącą.
−1
−1
q
q
Odp.: EX = , D 2 X = 2 , M (t ) = Ee tX = p 1 − qe t , ϕ (t ) = Ee itX = p 1 − qe it ,
p
p
pz
s(z ) = ∑ p k z k =
1 − qz
k
Wskazówka: skorzystaj ze wzoru na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego
P (4 ≤ X < 6 ) =
11
36
P (4 < X < 6 ) =
(
)
6. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona…
… oczekiwaną
⎝ ω⎠
ilości niezależnych prób potrzebnych do osiągnięcia celu.
Odp.:
ω
p
10. Zmienna losowa ma gęstość prawdopodobieństwa (rozkład gamma):
⎧Cx α e − λx dla x ≥ 0
f (x ) = ⎨
α > −1 , λ > 0
dla x < 0
⎩0
Wyznacz stałą C , wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej.
λα +1
α +1
α +1
, EX =
, D2 X = 2
Odp.: C =
Γ(α + 1)
λ
λ
+∞
Wskazówka: funkcja gamma Γ( x ) = ∫ t x −1e −t dt dla x > 0 ; Γ( x + 1…
... zobacz całą notatkę