Wyprowadzenie równań różniczkowych cząstkowych w fizyce

Nasza ocena:

3
Pobrań: 28
Wyświetleń: 504
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu

Fragment notatki:

Wyprowadzenie równań różniczkowych cząstkowych w fizyce. Równania struny. Propagacja fal. Innym przykładem wyprowadzenia równań w stosunku do zjawisk fizycznych jest będące połączeniem zasad fizyki i równań różniczkowych jest drugie prawo Newtona:
(1)
gdzie to równoważąca siła działająca na cząstkę punktową.
Wyrażenie to zastosujemy do wyprowadzenia równania ruchu nieskończonego struny. Obieramy czas t jako dowolny, ale jedyny. Niech U(x) to odchylenie od położenia równowagi. Zakładamy też, że . Głównym celem jest połączenie pochodnych przez równanie oraz z geometrią (tj. kąta nachylenia, itp.). Rozważeniom w pewnych warunkach poddajemy małe drgania, wychylenia z położenia równowagi, które powinny zostać określone. Charakterystyką odchylenia jest pochodna cząstkowa
(2)
Wynika z tego. Że , gdzie α to kąt nachylenia stycznej, przy czym zakładamy, ze ( )
czyli jest funkcją bezwymiarową. Drugą funkcją jest tylko jednej współrzędnej: (3)
Podobnie ważnym elementem tego wyprowadzenia jest siła naprężenia struny . Przy najprostszym założeniu siła jest skierowana wzdłuż stycznej (struna łatwo się wygina). Jeśli struna jest nieskończona, wówczas rozciągnięcie zależy od warunków dla przypadku nieskończoności.
Interesuje nas ruch struny wzdłuż osi y, co oznacza, że:
( ) Po prawej stronie wyrażenia mamy sumę sił działających na cząstkę punktową, przy czym znak „ ” oznacza, że rozważamy odcinek, a nie cząstkę punktową, a przyspieszenie jest dla jednej współrzędnych. Uwaga Dla (1) uzyskujemy:
(4) Przyjmujemy, że rozważany odcinek dąży do cząstki punktowej.
(5)
Równanie (6) odtwarza niejako równanie (1). Jest to tzw. drugie równanie Newtona, które również nosi nazwę równania struny. Jest to równanie dwóch zmiennych: x i t. Istnieje przypadek, gdy:
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz