Współrzędne izometryczne I forma kwadratowa powierzchni sparametryzowanej parametrami u i v :
gdzie: u = const , v = const - linie parametryczne
dla F = 0 - siatka linii parametrycznych jest ortogonalna
Współrzędne krzywoliniowe u,v nazywane są izometrycznymi , jeżeli długość ds na powierzchni można wyrazić wzorem:
gdzie: μ 2 - dowolna funkcja parametrów u i v .
Jeżeli zatem współrzędne u i v są izometrycznymi to zachodzą następujące związki:
F = 0, E = G = μ 2 Twierdzenie: Współrzędne u i v są izometryczne jeżeli: siatka współrzędnych jest siatką ortogonalną, przesunięcie ds wywołane zmiana współrzędnej u o wartość du = ε jest równe przesunięciu ds wywołanemu zmiana współrzędnej v o dv = ε (gdzie ε to nieskończenie mała, dowolnie obrana liczba) Czy współrzędne elipsoidalne B,L są izometryczne ? NIE !
Warunek 1: jest spełniony - (współrzędne tworzą siatkę ortogonalną),
Warunek 2: (I forma kwadratowa dla elipsoidy)
dla dB = ε mamy dla dL = ε mamy nie jest spełniony. Przekształcimy wzór na ds 2 :
zamiast współrzędnej B wprowadzimy nową współrzędną q : taką, że otrzymamy zatem: Teraz jak widać współrzędne q i L są współrzędnymi izometrycznymi
Współrzędna q będzie równa:
czyli po rozwiązaniu gdzie: q - współrzędna izometryczna (ważna w odwzorowaniach równokątnych)
e - mimośród elipsoidy Warunki równokątności (w przypadku stosowania współrzędnych izometrycznych)
Warunki równokątności odwzorowania elipsoidy obrotowej na płaszczyznę:
- oraz Po zastąpieniu B,L współrzędnymi izometrycznymi q,L otrzymamy:
- oraz ponieważ zatem przedstawia warunki równokątności w zastosowaniu współrzędnych izometrycznych (Cauchy'ego - Riemana)
Warunki te musi spełniać funkcja analityczna zmiennej zespolonej z = q+iL Jest ona rozwijalna w szereg potęgowy i opisuje dowolne odwzorowanie równokątne.
Przy wyprowadzaniu funkcji odwzorowawczych odwzorowań równokątnych możemy posłużyć się następującymi sposobami:
- zastąpić współrzędne geodezyjne B,L współrzędnymi izometrycznymi q,L ,
- wykorzystać funkcję analityczną do przekształcania związku między współrzędnymi prostokątnymi płaskimi
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)