To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wprowadzenie do aksjomatycznej teorii mnogości
Aksjomatyczna teoria mnogości
- B. Bolzano - po raz pierwszy pojęcie zbioru (Paradoksy nieskończoności)
- G. Cantor - uporządkowanie pojęcia zbioru, kolekcji, zbiorów nieskończonych,
- G. Frege - przyjęcie za dużej ilości zbiorów (nieograniczony schemat wyróżniania)
- po 1902 (antynomia Russella) - próby formułowania słabszych postulatów, niedopuszczenia do sprzeczności (Zermelo, Fraenkel)
2 podejścia do teorii mnogości:
1. Czysta teoria mnogości - jej przedmiotem są czyste zbiory, ufundowane (zawieszone) jedynie na zbiorze pustym, dla rekonstrukcji wszystkich pojęć matematycznych nie zakłada istnienia elementów, które nie są zbiorami. ZF
Zaczynamy od niczego - od zbioru pustego.
Typ 1 - ∅
Typ 2 - {∅}
Typ 3 - {{∅}}, {∅, {∅}}
Typ 4 - {{{∅}}}, {∅, {∅}, {{∅}}}, {∅, {∅, {∅}}}...
itd.
Vω - uniwersum zawierające wszystkie takie zbiory, które można utworzyć przez operację tworzenia skończonego zbioru z wcześniej utworzonych elementów. Zbiory dziedzicznie skończone.
Działamy tak, aby nigdy się nie zatrzymać. Wykonalność wszystkich konstrukcji.
Wykluczenie paradoksalnych (nieufundowanych, ale `skończonych') obiektów zachowujących się jak zbiory, a niezależnych od tej konstrukcji, np. a = {a}; a∈b, b∈c, c∈a. Nie da się jednak zagwarantować, że nie istnieje taki nieskończony ciąg: a0 ∋ a1 ∋ a2 ∋ ...
2. Teoria mnogości zakładająca istnienie elementów, które nie są zbiorami, indywiduów, atomów, praelementów (Ur-Elementen, Fraenkel)
Poziom najniższy (typ zerowy): a1, a2, a3, ... - indywidua, A
Typ 1: Zbiory indywiduów
Typ 2: Zbiory zbiorów indywiduów (i ewent. tych indywiduów)
Typ n - zbiory, których elementami są przedmioty z wszystkich niższych typów.
Vω(A) - przypadek graniczny - uniwersum atomów (na zbiorze tych atomów)
{Vω(A)} - nowe zbiory...
iteracja
Konstruowanie nowych zbiorów. Wykluczenie z uniwersum elementów, które mogłyby powstać w inny sposób.
Ufundowanie w A - z atomów, nad atomami. Uniwersum zbiorów - każdy jego element został jakoś skonstruowany w skończonej liczbie kroków. Uniwersum ufundowane nie ma nieskończonego malejącego ciągu.
Zatrzymanie się w konstrukcji tak późno, jak to jest możliwe. Konstrukcja się nie kończy.
Podawanie konstrukcji wszystkich zbiorów, aby Aksjomatyzacja jako próba uniknięcia paradoksów.
Golibroda goli wszystkich i tylko tych, którzy nie golą się sami. Czy golibroda sam się goli?
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)