Wektory - wykład

WEKTORY
−
−
→
1. Obliczyć długość wektora AB, jeżeli A(1, 3, 2), B(0, −2, 1).
2. Znaleźć współrzędne środka odcinka AB, jeżeli A(xA , yA , zA ), B(xB , yB , zB ).
3. Punkt P dzieli odcinek AB w stosunku 1:3. Znaleźć współrzędne punktu P , jeżeli A(2, 0, −1),
B(4, 3, −4).
4. Punkt P dzieli odcinek AB w stosunku 1:2. Znaleźć współrzędne punktu B, jeżeli A(−1, 2, 3),
P (1, 3, 3).
→
−
−
→
−
→
−
→
→
a
5. Dla jakich wartości α i β wektory − = 5 i − 3 j + α k oraz b = [β, 9, −2] są równoległe?
6. Znaleźć koniec wektora o długości 3, początku A(6, 4, −2), równoległego do wektora o początku
C(−3, 2, 4) i końcu D(1, 4, 0).
−
→
→
→
−
→ − → → −
− → −
→ − −
→ →
→ − → → − →− →
−
7. Obliczyć: |− |, → ◦ b , − × b , (− b − ), jeżeli → = [1, 1, −2], b = 2 i − j − k , − = i −2 j + k .
a a
a
a
c
a
c
→
−
→ −
→ − − → → →
− →
8. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów − i b , jeżeli − =3→-2→, b =− -5− , przy czym → i − są
a
a
p q
p q
p q
wzajemnie prostopadłymi wersorami.
→ → →
→ →
9. Obliczyć długość wektora − =3− -4− , jeżeli − i − są wzajemnie prostopadłymi wersorami.
a
p q
p q
→
−
10. Znaleźć współrzędne wektora − wiedząc, że jest on równoległy do → = [−2, 1, −1] oraz spełnia
u
a
→ ◦ − = 3.
− →
warunek u a
11. Dane są trzy kolejne wierzchołki równoległoboku A(1,-2,3),B(3,2,1) i C(6,4,4). Wyznaczyć współrzędne wierzchołka D.
−
−
→
12. Wyznaczyć długości przekątnych równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach AB =
−→
−
[3, −2, 1] i AD = [0, 3, −1].
−
→
→
→
→
−
→
→
− −
→ − →
→ −
−
13. Wiedząc, że |− | = 2, | b | = 5, (→, b )=60◦ , obliczyć: − ◦ b , − 2 , (2− − b ) ◦ (3→ + 4 b ).
a
a
a
a
a
a
−
→
→
→ → −
→
14. Obliczyć długości przekątnych równoległoboku zbudowanego na − = 5− + 2− i b = → − 3− ,
a
m
n
m
n
√ →
→ = 2 2, |− | = 3, (− →) = π .
−
→ −
jeżeli wiadomo, że | m|
n
m, n
4
−
→
→
→
−
→ − → − −
15. Dane są wektory → = [3, 5, 7] i b = [−2, 6, 1]. Znaleźć: − ◦ b , |− |, → × b .
a
a
a a
−
→
→
→
16. Dane są wektory − = [2, −1, 5] i b = [3, 1, 1]. Znaleźć wektor − prostopadły do osi Oz i speła
x
→
−
→ ◦ − = 1, − ◦ b = 4.
− →
→
niający warunki x a
x
−
→
→
17. Znaleźć kąt między przekątnymi rónoległoboku zbudowanego na wektorach − = [2, 1, 0] i b =
a
[0, −2, −1].
18. Dane są wierzchołki trójkąta A(−3, 1, −1), B(6, −2, −5), C(1, −2, −1). Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B na bok AC.
19. Punkty A(2, 1, 1), B(4, 2, 1) i C(2, 4, 3) są wierzchołkami równoległoboku. Znaleźć długość wysokoci CK tego równoległoboku opuszczonej na AB.
−
→
→
→
20. Znaleźć wektor jednostkowy − prostopadły do wektorów − = [2, −1, 1] i b = [1, 2, −1].
m
a
→
−
−
→
21. Sprawdzić, czy wektory → = [3, −2, 1], b = [2, 1, 2] i − = [3, −1, 2] są komplanarne (równoległe
a
c
do jednej płaszczyzny).
22. Sprawdzić, czy punkty A(−1, 3, 2), B(0, 1, 5), C(−1, 2, 1), D(2, 1, 3) leżą w jednej płaszczyźnie.
−
→
→
→
23. Wykazać, że wektory − = [−1, 3, 2], b = [2, −3, 4] i − = [−3, 12, 6] są komplanarne i rozłoa
c
−
→
→
→
−
→
− −
żyć wektor − na kierunki wektorów → i b . (Zapisać wektor − jako sumę ... zobacz całą notatkę