Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke’a
Związki między odkształceniami i naprężeniami, w przypadku ciała izotropowego, opisuje
uogólnione prawo Hooke’a:
τ xy
1
γ xy = 2ε xy =
,
[σ x − ν (σ y + σ z )] ,
G
E
τ yz
1
(a)
ε y = [σ y − ν (σ z + σ x )] , γ yz = 2ε yz =
,
G
E
1
τ
ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )] ,
γ zx = 2ε zx = zx ,
E
G
Rozwiązując równania (a) względem naprężeń, otrzymujemy związki:
E
ν
σx =
ε x + 1 − 2ν (ε x + ε y + ε z ) , τ xy = G γ xy = 2G ε xy
1 +ν
E
ν
σy =
(b)
ε y + 1 − 2ν (ε x + ε y + ε z ) , τ yz = G γ yz = 2G ε yz
1 +ν
E
ν
σz =
ε z + 1 − 2ν (ε x + ε y + ε z ) , τ zx = G γ zx = 2G ε zx
1 +ν
W tych wzorach E oznacza moduł sprężystości podłużnej (moduł Younga), G moduł
sprężystości poprzecznej (moduł Kirchoffa), zaś ν współczynnik Poissona ( ε 2 = −ν ε1 ).
εx =
ZADANIE 1. Wewnątrz nieodkształcalnego sześcianu o krawędzi l umieszczony jest
odkształcalny prostopadłościan wykonany z jednorodnego materiału o danych parametrach E
i ν . Na podstawach prostopadłościanu przyłożono równomierne ciśnienie q . Zakłada się, że
tarcie o ścianki nie występuje. Obliczyć naprężenia na płaszczyznach nieodkształcalnego
sześcianu oraz zmianę objętości wewnętrznego prostopadłościanu.
z
l/2
q
l/2
odkształcalny
prostopadłościan ( E , ν )
nieodkształcalny
sześcian
l
y
q
x
Rozwiązanie
Zewnętrzny sześcian jest nieskończenie sztywny, zatem wydłużenia wewnętrznego
prostopadłościanu w kierunku x i y są równe zeru. Stan odkształcenia jest jednorodny.
l
∆l y = ε y = 0
2
l
∆l x = ε x = 0
2
Podstawiamy do wzorów (a):
1
ε y = 0 = [σ y −ν (σ z + σ x )] ⇒ σ y = ν (σ z + σ x )
E
1
ε z = 0 = [σ x − ν (σ y + σ z )] ⇒ σ x = ν (σ y + σ z )
E
Wewnętrzny prostopadłościan jest ściskany ciśnieniem q , zatem naprężenie
σ z = −q .
Podstawiając ten związek do równań (1), otrzymujemy:
σ y − νσ x = −ν q ⋅ν
⊕
σ x − νσ y = −ν q
(1)
(1 − ν 2 )σ x = − qν (1 + ν )
σx = − q
ν
ν
ν2
=−q ν
, σ y = −νq + νσ x = −νq − νq
= − qν +
1 −ν
1 −ν
1 −ν
1 −ν
Odkształcenie objętościowe (względny przyrost objętości) wyraża się wzorem:
ϑ = ε x + ε x + ε x = 3ε śr .
Wyrażając odkształcenia przez naprężenia za pomocą wzorów (a), otrzymujemy:
σ śr
σ
E
1 − 2ν
1 − 2ν
(σ x + σ y + σ z ) =
⋅ 3σ śr =
= śr ; K =
ϑ=
E
K
3(1 − 2ν )
Ε
Ε
3(1− 2ν )
gdzie wielkość K jest modułem ściśliwości Helmholtza. Zauważmy, że jeżeli ν → 1/2 to
K → ∞ , co oznacza, że materiał jest nieściśliwy (brak zmiany objętości). Dla ν → 0 mamy
K = E / 3 = K min , a materiał taki nazywamy idealnie ściśliwym (największa zmiana
objętości). Obliczamy:
σ x + σ y + σ z − q 1νν − q 1νν − q
q 1 +ν
−
−
=
=−
,
3
3
3 1 −ν
σ śr
q 1 + ν 3(1 − 2ν )
q (1 + ν ) (1 − 2ν )
ϑ= E =−
⋅
=−
.
E
E
3 1 −ν
1 −ν
3(1− 2ν )
σ śr =
Odpowiedź
Naprężenia w prostopadłościanie wynoszą:
ν
,
1 −ν
ν
σ y = −q
,
1 −ν
σ z = −q .
σ x = −q
(ściskanie)
Zmiana objętości prostopadłościanu pod wpływem przyłożonego obciążenia wynosi:
q (1 + ν ) (1 − 2ν )
ϑ=−
(ubytek objętości)
E
1 −ν
2
ZADANIE 2. Stan odkształcenia w pewnym
(…)
… następująco:
0
888,46 323,08
323,08 1211,5
0 [kPa ] .
σ=
0
0
1050,0
3
ZADANIE 3. Cienka kwadratowa tarcza, pokazana na rysunku, wykonana z materiału
sprężystego, jest rozciągana w dwóch kierunkach tak, że mamy σx=200MPa i σy=100MPa.
Znane są też odkształcenia εx = 2,45·10-3 i εy = 0,49·10-3. Ile wynosi E, ν oraz G dla materiału
tarczy? Jakie powstanie odkształcenie postaciowe γxy…
…) mamy:
1
1
−3
200 − 3 ⋅100 = 2,45 ⋅10
E
2 −ν
=5
1 − 2ν
500 2,45
=
3E 1000
,
; ν=
,
Obliczamy teraz moduł Kirchoffa:
G=
E
6,8 ⋅ 10 4
=
= 2,55 ⋅ 10 4 MPa
1
2(1 + ν ) 2 1 + 3
(
)
oraz kąt odkształcenia postaciowego:
γ xy =
τ xy
G
=
80
2,55 ⋅ 10
4
4
= 3,14 ⋅ 10 −3 .
1
3
E = 6,80 ⋅ 10 4 MPa
ZADANIE 4. Cienką płytkę o wymiarach h × l umieszczono w szczelinie o szerokości h.
Przyjmuje…
… naprężenia, jeśli stałe sprężystości dla izotropowego, liniowosprężystego materiału wynoszą: E=210 GPa, ν=0,3.
Rozwiązanie
Składowe stanu naprężenia znajdujemy z równania wiążącego naprężenia i odkształcenia
(uogólnionego prawa Hooke’a), które w zapisie wskaźnikowym i konwencji sumacyjnej ma
postać:
σ ij = 2µε ij + λε kk δ ij
gdzie µ oraz λ są stałymi Lame’go:
µ =G =
E
Eν
, λ=
2(1 + ν )
(1 + ν)(1 − 2ν…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)