To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Układy nieliniowe
Wykonano portrety fazowe układu zwierającego człon nieliniowy, w naszym przypadku był to węzeł stabilny z przekaźnikiem bez pętli histerezy (wykres poniżej). Ustawiono wartości a0=-1, a1=-2, a=7. Wykonano a f(x1), a f(x2) i a f(x1+x2). Trajektoria funkcji f(x1) ma swój punkt początkowy w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Początkowo kształt trajektorii jest podobny do kształtu węzła stabilnego, ale im bliżej początku układu współrzędnych zaczyna zachowywać się podobnie do ogniska stabilnego (obiega ruchem okrężnym początek układu dążąc do zera). Kolejna trajektoria f(x2) zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych i również zachowuje się na początku podobnie do trajektorii węzła stabilnego. Jednak nie przechodzi ona do czwartej ćwiartki układu i po osi x1 dąży do zera. Trajektoria f(x1+x2) zachowuje się jak węzeł stabilny. Kierunek rysowania wszystkich trajektorii jest w kierunku środka układu współrzędnych tak jak dla węzła stabilnego.
W przypadku gdy równania układu są nieliniowe, istota postępowania przy konstruowaniu portretów fazowych jest nadal taka sama. Bardzo często nieliniowość można przedstawić jako złożenie kilku obszarów we współrzędnych x1 i x2, w których właściwości układu dają się opisać równaniami liniowymi. W wielu przypadkach mamy do czynienia z tzw. nieliniowością statyki. W takiej sytuacji struktura układu daje się rozbić na elementy dynamiczne liniowe i elementy nieliniowe, bezinercyjne (a więc opisane przez podanie charakterystyk statycznych). Portrety fazowy układów nieliniowych będą się znacznie różnić od portretów układów liniowych.
W przypadku nieliniowości rzadziej mamy do czynienia z symetrią, ponadto układy takie mogą mięć kilka punktów osobliwych nie znajdujących się w początku układu współrzędnych.
Wnioski:
Rozpatrzyliśmy wszystkie istniejące typy punktów osobliwych możliwych do uzyskania w układach liniowych.
We wszystkich przypadkach w układach liniowych był tylko jeden punkt osobliwy, który znajdował się w środku układu współrzędnych. W przypadku węzła i ogniska stabilnego trajektoria z upływem czasu zbliża się do punktu osobliwego, a więc do początku układu współrzędnych osiągając w końcu zarówno prędkość jak i przesunięcie równe zeru. Jest to cechą charakterystyczną układów stabilnych (dążenie do stanu równowagi).
Obserwując ognisko i węzeł niestabilny trajektoria skierowana jest od punktu osobliwego na zewnątrz. Układy te nigdy nie osiągają ponownie stanu równowagi. (trajektoria z upływem czasu oddala się od początku układu).
(…)
… - układ jest na granicy stabilności - choć trajektoria w dłuższym okresie czasu nie oddala się od środka układu, to jednak również się nie przybliża. Zarówno prędkość jak i droga na przemian rosną i maleją - trajektoria zatacza elipsę. Tego typu trajektoria może charakteryzować na przykład układy drgające harmonicznie, a co za tym idzie może być to zjawisko pożądane.
Na podstawie wykonanego ćwiczenia…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)