Twierdzenie o układach równoważnych-opracowanie

Tw. o układach równoważnych
Jeśli tabelę układu n równań liniowych z n niewiadomymi pomnożyć przez tabelę niezerowego wyznacznika stopnia n stosując mnożenie w sensie Cauchy-Binet'a, otrzymuje się tabelę układu równoważnego danemu.
Niech będzie dany układ równań liniowych z n niewiadomymi oraz tabela δ stopnia n o niezerowym wyznaczniku.
x1 x2…xn 1
a1 b1…n1 l1
a2 b2…N2 l2 … …… … …
an bn…Nn ln
Pomnóżmy stronami pierwsze równanie układu przez α, drugie przez α2,…, n-te przez αn i zsumujemy. Otrzymamy pierwsze równanie nowego układu, którego współczynniki zapisujemy stosując symbol sumowy Gaussa:
[aα]x1+[bα]x2+…+[nα]xn+[lα]=0 (2)
Analogicznie mnożąc równania stronami przez β1,β2,…,βn,…,η1,η2,…,ηn i sumując otrzymujemy drugie, trzecie,…, n-te równanie nowego układu, który ostatecznie przyjmie postać:
[aα]x1+[bα]x2+…+[nα]xn+[lα]=0
[aβ]x1+[bβ]x2+…+[nβ]xn+[lβ]=0
… … … … … …
[aη]x1+[bη]x2+…+[nη]xn+[lη]=0 (3)
Układ (3) ma to samo rozwiązanie co układ (1), gdyż mnożenie równań stronami przez stałe i sumowanie wartości niewiadomych nie zmienia. Łatwo też zauważyć, że tabela tego układu jest iloczynem Cauchy - Bineta tabeli //a// tego układu przez tabelę //δ//.

(…)

…
Tw. o układach równoważnych
Jeśli tabelę układu n równań liniowych z n niewiadomymi pomnożyć przez tabelę niezerowego wyznacznika stopnia n stosując mnożenie w sensie Cauchy-Binet'a, otrzymuje się tabelę układu równoważnego danemu.
Niech będzie dany układ równań liniowych z n niewiadomymi oraz tabela δ stopnia n o niezerowym wyznaczniku.
x1 x2…xn 1
a1 b1…n1 l1
a2 b2…N2 l2 … …… … …
an bn…Nn ln…
... zobacz całą notatkę