Rozwiązanie układu równań metodą redukcyjną
Istota metody redukcyjnej polega na eliminowaniu kolejnych niewiadomych układu, aż do momentu otrzymania jednego równania z jedną, ostatnią niewiadomą. Po jaj wyznaczeniu oblicza się pozostałe niewiadome z kolejnych reduktów zaczynając od końca, przy czym i-tym reduktem układu wyjściowego nazywamy układ równań otrzymany z danego po eliminacji i początkowych niewiadomych. Eliminacja i-tej niewiadomej z (i-1)go reduktu polega faktycznie na obliczeniu i-tej niewiadomej z pierwszego równania tego reduktu jako funkcji pozostałych niewiadomych i podstawieniu jej do następnych równań. Tok dowodu:
Rozważmy układ n równań liniowych z n niewiadomymi, który zapiszemy w postaci uproszczonej podanej schematem (1)
X1 X2 X3…Xn 1 /
a1 b2 c1…n1 l1/-a2-a3-…-
a2 b2 c2…n2 l2/ a1
a3 b3 c3…n3 l3/ a1
… …………… …/…
an bn cn…Nn ln/ a1
(a1a2-a2a1)(a1b2-a2b1)(a1c2-a2c1)…(a1n2-a2n1)(a1l2-a2l1)
(a1a3-a3a1)(a1b3-a3b1)(a1c3-a3c1)…(a1n3-a3n1)(a1l3-a3l1)
… … … … … … … … … … … ….… … … … … … … … … … (a1an-ana1)(a1bn-anb1)(a1cn-anc1)…(a1Nn-anN1)(a1ln-anl1) (2)
Aby obliczyć kolejne równania pierwszego reduktu R1 pomnóżmy pierwsze równanie przez - a2, drugie przez a1 i zsumujemy następnie pierwsze przez - a3, trzecie przez a1 i zsumujmy…Wreszcie mnożąc pierwsze równanie przez -an, a n-te przez a1 i sumując otrzymamy ostateczne równanie pierwszego reduktu. Otrzymujemy pierwszy redukt układu wyjściowego jest układem (n-1) równań z (n-1) niewiadomymi x2,x3,…,xn, gdyż jak łatwo spostrzec, wszystkie współczynniki przy x1 są równe zeru. Jest przy tym oczywiste, że układ R1 jest równoważny danemu gdyż mnożenie równań przez stałe i sumowanie wartości niewiadomych nie zmienia. Zauważmy, że wyrażenia objęte nawiasami, czyli współczynniki redukatu R1, można przedstawić w postaci wyznaczników drugiego stopnia bardzo prostych do zestawienia i obliczenia. Powyższa uwaga pozwala otrzymany układ (2) zapisać w postaci:
x2 x3 xn 1
a1 b1//a1 c1/…/a1 n1//a1 l1/
a2 b2//a2 c2/…/a2 n1//a2 l2/
a1 b1//a1 c1/…/a1 n1//a1 l1/
a3 b3//a3 c3/…/a3 n3//a3 l3/
a1 b1//a1 c1/…/a1 n1//a1 l1/
an bn//an cn/…/an Nn//an ln/ (3)
Dokonując identycznego przekształcenia reduktu R1 otrzymujemy redukt R2 a przedłużając postępowanie dalej otrzymujemy wreszcie ostatni redukt stanowiący jedno równanie, z którego obliczamy niewiadomą ostatnią. Podsumowując ją do właściwego równania przedostatniego reduktu wyznaczamy przedostatnia niewiadomą i postępując analogicznie - obliczymy niewiadome pozostałe.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)