Rozwiązanie układu równań metodą nieoznaczoną
Niech będzie dany układ s równań liniowych z s niewiadomymi o niezerowym wyznaczniku podstawowym. Zapiszemy go w postaci uproszczonej:
X1 X2…Xi…Xs 1 /
a1 b2…i1…s1 l1/ I1
a2 b2…i2…s2 l2/ I2 … …………… …/…
as bs…is…Ss ls/ Is (1)
Będziemy chcieli obliczyć i-tą niewiadomą układu korzystając z pojęć wyznacznikowych. W tym celu pomnóżmy stronami pierwsze równanie przez kofaktor I1 elementu i, drugie przez kofaktor I2 elementu i2,…, wreszcie s-te równanie przez kofaktor Is oraz przekształcone tak równanie zsumujemy. Otrzymamy jedno równanie: [a I]x1+[b I]x2+…+[ Ii]xi+…+[s I]+[l I]=0 (2)
Które spełniają niewiadome układu wyjściowego, gdyż mnożenie równań stronami przez stałe i sumowanie nie zmienia wartości niewiadomych.
Symbole sumowe Gaussa, np. [a I]=∑ aqbq=a1 I+a2 I2+…+as Is (3)
Wprowadzono dla uproszczenia zapisu.
Z twierdzenia głównego wiemy, że iloczyn i-tej kolumny tabeli wyznacznika przez i-tą kolumnę tabeli kofaktorów jest równy wartości tego wyznacznika. Oznaczając przez d wartość wyznacznika podstawowego możemy więc napisać:
[i I]=d (4)
Z tego samego twierdzenia wiemy, że pozostałe kolumny wyznacznika podstawowego mnozona przez i-tą kolumnę tabeli kofaktorów dają zera czyli:
[a I]=[b I]=…=[s I]=0 (5)
Równanie (2) przyjmuje więc postać:
[i I]xi+[l I]=0 (6)
Skąd xi= - [l I]/[i I] (7) albo, po podstawieniu (4)
xi= - [l I]/d (8)
Wynika stąd, że aby obliczyć i-tą niewiadomą należy iloczyn kolumny wyrazów wolnych oraz i-tej kolumny tabeli kofaktorów podzielić przez wartość wyznacznika podstawowego i zmienić znak wyniku. Jeżeli wyrazy wolne leżą z prawej strony znaku równości - nie zmieniamy znaku ilorazu.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)