To tylko jedna z 19 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
TERMODYNAMIKA
wszystkie paranoiczne wyprowadzenia
MIKROSTAN – dokładny opis położenia i pędu każdej cząstki układu w określonej chwili czasu
PRZESTRZEŃ FAZOWA – wszystkie mikrostany
Przestrzeń fazowa jest nieciągła, kwantyzacja wynika z zasady nieoznaczoności Heisenberga:
∆rx ,1 ⋅ ∆p x ,1 ≥ h
∆ry ,1 ⋅ ∆p y ,1 ≥ h h 3 - stała Plancka: max. dokładność, wymiar komórki w przestrzeni fazowej
∆rz ,1 ⋅ ∆p z ,1 ≥ h
W układzie makroskopowym o N cząstkach: h 3 N .
h ma wymiar energii.
Wielkość obserwowana – średnia z zaobserwowanych stanów w pewnym czasie obserwacji
N
Gobs =
∑G
i
N
i
;
ŚREDNIA STATYSTYCZNA :
G = ∑ pυ Gυ - suma po wszystkich mikrostanach
υ
pυ - prawdopodobieństwo, że układ wystąpi w danym mikrostanie
przykładowa wielkość: energia
E = ∑ pυ Eυ
υ
Znaczenie mają te stany, których prawdopodobieństwo jest największe.
_____________________________________________________________________
Możliwe warunki:
1. UKŁAD IZOLOWANY – nie ma wymiany energii ani cząstek z otoczeniem
ZESPÓŁ MIKROKANONICZNY - opis statystyczny takiego układu
1
E , N , V = const ;
pυ = const = ,
Ω - liczba wszystkich możliwych stanów
Ω
2. UKŁAD NIEIZOLOWANY – dopuszczalne są fluktuacje energii, ale nie materii
ZESPÓŁ KANONICZNY:
Eotoczenia + Eukł = const = Ewszechś ;
N , V = const ;
pυ (E ukł ,υ ) = p (E otoczenia )
(prawdopodobieństwo znalezienia się układu w stanie o danej energii jest równe prawdopodobieństwu
znalezienia się otoczenia w stanie o energii odpowiadającej energii reszty wszechświata, gdy układ
jest w danym stanie)
3. UKŁAD OTWARTY – tylko objętość pozostaje stała, energia i materia fluktuują
V = const ;
pυ (Eυ , N υ )
ZESPÓŁ WIELKI KANONICZNY:
________________________________________________________________________
ERGODYCZNOŚĆ UKŁADU – gdy wielkość obserwowana jest tożsama ze średnią statystyczną
G
obs
= G
Po odpowiednio długim czasie układ przejdzie przez wszystkie mikrostany, i wówczas
G
t
= G
υ
Przykład układu nieergodycznego: szkło – przez stulecia ulega powolnej krystalizacji
___________________________________________________________________________
ENTROPIA – definicja statystyczna: S = k ln Ω
Stąd wynika termodynamiczna definicja temperatury:
1 ∂S ∂k ln Ω
=
=
;
T ∂E ∂E
β=
1 ∂ ln Ω
=
kT ∂E
1
Ω
W zespole kanonicznym: pukł (Eυ ) = p otoczenia (E − Eυ ) ,
gdzie E - całkowita energia wszechświata
Prawdopodobieństwo, że układ wystąpi w stanie o danej energii jest proporcjonalne do liczby stanów
o tej energii:
pukł (Eυ ) ~ Ω(Eυ ) ;
p otoczenia (E − Eυ ) ~ Ω(E − Eυ )
pukł Eυ ~ Ω E − Eυ = e ln Ω ( E − Eυ )
pukł (Eυ ) = p otoczenia (E − Eυ ) →
∂ ln Ω(E )
∂ ln Ω(E )
ln Ω(E − Eυ ) = ln Ω(E ) − Eυ
+ ... , jednak
=β
∂E
∂E
ln Ω ( E ) − Eυ β
, Ω( E ) = const - liczba wszystkich mikrostanów wszechświata
stąd: pukł ,υ ~ e
W zespole mikrokanonicznym mamy po prostu pυ =
( )
a więc:
(
)
pukł ,υ ~ e − βEυ
∑ Pυ = 1
Normalizujemy sumę wszystkich prawdopodobieństw do 1:
e − βEυ
P =
υ
∑ e−βEυ
→ w mianowniku
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)