Na 10 stronach znajdziemy krótką teorię, definicje i przykłady z zakresu estymacji przedziałowej. Uszczegółowione zostaną różne rodzaje estymacji, zbieżności. Znaleźć można tutaj także przykłady zadań razem z rozwiązaniami.
Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej
Parametr zbiorowości generalnej - miara opisowa, np. średnia arytmetyczna odchylenie standardowe czy wskaźnik struktury zbiorowości generalnej, której wartość jest na ogół nie znana.
Estymacja, czyli szacowanie parametrów, polega na podaniu ocen parametrów populacji generalnej na podstawie statystyki uzyskanej z próby losowej.
Statystyki wyliczone na podstawie pobranych z populacji grup losowych z teorii estymacji noszą nazwę estymatorów. Estymatorem jest więc każda statystyka wyliczona z próby losowej, która służy do szacowania odpowiadającego jej parametru populacji generalnej. Aby statystyki mogły być uznane za dobre estymatory powinny charakteryzować się pewnymi cechami:
Nieobciążoność - jeśli wartość oczekiwana estymatora stosowanego do wyznaczenia nieznanego parametru zbiorowości generalnej jest równa wartości tego parametru, to taki estymator nazywamy nieobciążonym:
Zgodność - własność estymatora powodująca, że wraz ze wzrostem liczebności próby wartość estymatora zbliża się do parametru zbiorowości generalnej. Innymi słowy różnica między tymi wielkościami podlega działaniu prawa wielkich liczb:
gdzie:
jest dowolnie małą liczbą
Efektywność - spośród dwóch estymatorów wybieramy ten, którego wariancja jest mniejsza. Miarą efektywności estymatora jest jego wariancja .
Wyróżniamy dwa rodzaje estymacji:
Estymacja punktowa polega na podaniu wielkości szacowanego parametru, która jest równa wartości estymatora. Ponieważ z reguły wielkości estymatora różnią się od wartości parametru populacji generalnej, podaje się jednocześnie średni błąd szacunku, czyli odchylenie standardowe estymatora.
Estymacja przedziałowa polega na skonstruowaniu pewnego przedziału liczbowego, zwanego przedziałem ufności (Neymana), który z określonym prawdopodobieństwem pokryje estymarowy parametr. Losowanie niezależne (ze zwrotem) - proces wybory jednostek do próby, w którym każdorazowo elementy zbiorowości generalnej mają takie samo prawdopodobieństwo dostania się do próby.
Rozkład estymatora w próbie - rozkład prawdopodobieństwa wskazujący na wszystkie możliwe wielkości, jakie może przyjąć dana statystyka (np. średnia arytmetyczna w próbie, odchylenie standardowe w próbie czy częstość względna w próbie).
Błąd standardowy - odchylenie standardowe estymatora , które zapisujemy .
Zbieżność do rozkładu normalnego - jeśli liczba jednostek obserwacji dąży do nieskończoności (w praktyce oznacza to zazwyczaj ), to rozkład estymatora jest zbliżony do rozkładu normalnego.
Wartość oczekiwana średniej arytmetycznej z próby
(…)
… dla (rząd wielkości nie jest znany)
Przykład 12
Chcemy znaleźć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany pracownik pewnego dużego zakładu będzie miał wykształcenie wyższe. W tym celu wylosowano próbę liczącą 400 pracowników i stwierdzono, że 32 spośród nich posiada wykształcenie wyższe. Oszacować na tej podstawie przy współczynniku ufności 0,95 udział osób z wykształceniem wyższym spośród zatrudnionych…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)