Statystyka w rozumieniu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaniu,
prezentacji,
analizie
danych.
Celem generalnym stosowania tych metod, jest otrzymywanie, na podstawie danych, użytecznych uogólnionych informacji na temat zjawiska, którego dotyczą.
Proces pozyskiwania danych ogólnie nazywany jest badaniem statystycznym .
W ramach badania statystycznego dokonuje się obserwacji statystycznej .
POJĘCIE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ W wielu rzeczywistych sytuacjach zebranie wszystkich potencjalnych danych nie jest możliwe, a interpretacji dokonuje się na podstawie odpowiednio zebranych danych częściowych o badanym zjawisku. Taka analiza, wykorzystująca metody rachunku prawdopodobieństwa nosi nazwę statystyki matematycznej. POPULACJA GENERALNA Badanie statystyczne dotyczy zawsze pewnej liczby zbiorów, której elementami są obiekty materialne lub zjawiska. W statystyce matematycznej badaną zbiorowość statystyczną nazywa się populacją generalną lub zbiorowością generalną. Populacja generalna skończona - jeżeli zbiór jej elementów jest skończony.
Przykład: zbiorowość studentów 2-go roku kierunku MiBM, zbiorowość krzeseł w sali.
Populacja generalna nieskończona dotyczy zazwyczaj zjawisk, a nie obiektów matematycznych.
Przykład: zbiorowość wyników pomiarów twardości materiału.
CECHA STATYSTYCZNA Elementy populacji generalnej mogą mieć różne właściwości (i najczęściej miewają), które podlegają obserwacji. Te własności nazywa się cechami statystycznymi lub krótko cechami. Przykład: w badaniu populacji ludzi np. wiek, wzrost, waga, płeć, kolor oczu, włosów, itd.
Te właściwości, które mają charakter ilościowy nazywa się cechami mierzalnymi (wzrost, waga).
Własności jakościowe (płeć, kolor włosów) nazywa się cechami niemierzalnymi .
Przeważająca część metod statystyki matematycznej dotyczy analizy cech mierzalnych.
ROZKŁAD CECHY Jeżeli elementy populacji różnią się między sobą własnościami analizowanej cechy, to mówi się o rozkładzie cechy populacji.
BADANIA PEŁNE I CZĘŚCIOWE Celem badania statystycznego jest na ogół poznanie rozkładu interesującej nas cechy populacji generalnej przez uzyskanie informacji o wartościach syntetycznych charakterystyk (parametrów) tego rozkładu.
Rozróżnia się dwa zasadnicze typy badań:
badania pełne
(…)
… stałymi wchodzącymi w skład parametrów rozkładu, f(x) - jest funkcją ciągła i większą bądź równą zeru.
Funkcja gamma (całka Eulera drugiego rodzaju)
Rozkład chi - kwadrat ( )
Rozkładem o n stopniach swobody nazywamy rozkład zmiennej losowej, która jest sumą n niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym N (0,1):
przy czym Xk ma rozkład N (0,1)
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej…
…), to pierwszym etapem jej opracowania jest dokonanie grupowania, czyli klasyfikacji. Grupowanie polega na podziale próby na podzbiory zwane grupami lub klasami, a wartością reprezentującą poszczególne klasy są ich środki. Przedziały klasowe oraz ich liczebności, czyli liczby jednostek próby należących do danej klasy tworzą razem tzw. szereg rozdzielczy.
Aby utworzyć szereg rozdzielczy należy:
ustalić obszar…
… taka stała c∈R, że
P(X=c)=1
czyli równocześnie
P(X≠c)=0
Rozkład dwupunktowy
Zmienna losowa ma rozkład dwupunktowy, gdy istnieją takie stałe a,b∈R, że
P(X=a) = p
P(X=b) = 1 - p = q, 0<p<1
Rozkład równomierny
Zmienna losowa ma rozkład równomierny, gdy dla ciągu punktów x1<x2<...<xq prawdopodobieństwo
P(X=xk) = 1/q, k=1, 2, ... , q
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa:
Rozkład dwumianowy - Bernoulli'ego
Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy (Bernoulli'ego), gdy funkcja rozkładu prawdopodobieństwa ma postać:
n - liczba naturalna,
p - liczba rzeczywista, p∈(0, 1)
Wartość oczekiwana (średnia): Wariancja: Przykład
Wymaganie odbiorcy pewnego wyrobu masowej produkcji stanowi, że wadliwość (obejmująca jednostki gorsze niż pierwszego gatunku) nie może przekraczać 5%. Do kontroli wylosowano 10 jednostek i poddano badaniu jakościowemu. Obliczyć jakiego należy spodziewać się wyniku, gdy partia wyrobu zawiera dokładnie 95% jednostek pierwszego gatunku.
tutaj: n=10, p=0,05
Rozkład Poissona
Jeżeli zmienne losowe x1,x2, ..., xn mają rozkład dwumianowy o parametrach n i (λ=const, λ>0) to ciąg funkcji prawdopodobieństwa
dąży dla każdego x = 0, 1, ..., n do funkcji
ROZKŁAD ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH
Rozkład jednostajny…
…) - standaryzowanego
Rozkład normalny jest symetryczny względem prostej
X = μ
Reguła trzech σ
Jeżeli X jest zmienną losową ciągłą o rozkładzie N(μ,σ) to zachodzi:
tzn. takie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie takie wartości, które różnią się od wartości oczekiwanej μ nie więcej niż o +/- 0,3 odchylenia standardowego σ.
Rozkład wykładniczy
Zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa, jeśli jej gęstość prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:
Parametr λ jest związany z wartością oczekiwaną i wariancją następującymi zależnościami:
Dystrybuanta
Jednym z podstawowych zastosowań rozkładu wykładniczego jest ocena niezawodności różnego rodzaju obiektów technicznych.
Funkcja niezawodności R(x) wyraża prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego na tym, że czas poprawnej pracy obiektu X…
… ma rozkład o n stopniach swobody, a X ten sam rozkład o m stopniach swobody:
ma rozkład nazywamy rozkładem F - Snedecora.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie F - Snedecora o (n,m.) stopniach swobody
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA PARAMETRÓW
Metoda estymacji przedziałowej to dokonanie szacunku parametru, w postaci takiego przedziału (zwanego przedziałem ufności), który z dużym…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)