To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Lista 4∗
15 listopada 2012
1
Zmienne losowe
W zadaniach tej listy w wielu przypadkach należy wyznaczyć wartości liczbowe dla
prawdopodobieństw określonych zdarzeń. W ostatecznych rachunkach można posłużyć się
tablicami z podręczników i skryptów lub zestawem tabel z materiałów dla studentów.
Wygodniejsze rachunki przeprowadzamy posługując się funkcjami p*(), d*(), q*(). Dla
uzyskania próby z ustalonego rozkładu możemy posłużyc się funkcja r*(), gdzie gwiazdka
powinna byc zastąpiona właściwym dla interesującego nas rozkładu ciągiem liter (patrz np.
zadanie 23). Generacja realizacji zmiennych losowych o zadanych rozkładach jest
zagadnieniem przeważnie trudnym i nie jest przedmiotem rozważań tego kursu.
Zainteresowanych studentów odsyłam do podręcznika Wieczorkowskiego i Zielińskiego [9].
Więcej szczegółów można uzyskać poleceniem help(Distributions) w R (patrz również
Przewodnik po pakiecie R, [1]).
Wiele pokoleń swoje studia probabilistyczne zaczynało od pierwszego tomu Fellera [4], który
dla polskiego czytelnika tłumaczył Robert Bartoszyński. Zaawansowane zagadnienia
dotyczące statystyki, znacznie wykraczające poza zakres tego wykładu, można znaleźć w
monografii Zielińskiego [8].
1.1
Rozkłady dyskretne
1. Badania wykazały, że 19% samochodów osobowych jest co najmniej 12 letnich.
Wybrano losowo 10 samochodów osobowych. Niech X będzie zmienną losową równą
liczbie aut co najmniej 12 letnich w próbie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że:
∗
12.11.2012
1
(a) P (X = 4);
(b) P (X = 2)
(c) co najmniej 3 auta są 12 letnie.
2. Przy rutynowej kontroli jakości pewnego produktu szansa na wykrycie braku wynosi 0.8,
gdy produkt jest wadliwy, a zakwalifikowanie jako brak produktu dobrego wynosi 0.01.
Wadliwość produkcji wynosi 75%. Jakie jest prawdopodobieństwo, iż na
zakwalifikowanie produktu jako braku trzeba zbadać k produktów?
Wskazówka: Stworzyć model matematyczny przez zdefiniowanie odpowiedniej zmiennej
losowej wraz z określeniem jej rozkładu. We wszystkich problemach o podobnym
sformułowaniu proszę zastosować ten schemat postępowania.
3. Po upływie pewnego czasu ameba może zginąć z prawdopodobieństwem 1 , przeżyć z
4
1
prawdopodobieństwem 4 lub może podzielić się na dwie z prawdopodobieństwem 1 . W
2
następnym okresie to samo dzieje się ze wszystkimi amebami. Ile ameb i z jakim
prawdopodobieństwem będzie istniało w końcu drugiego okresu?
4. Gracz A wymienia liczbę 0 lub 1 z prawdopodobieństwem odpowiednio p1 lub 1 − p1 .
Gracz B, niezależnie od gracza A, wymienia te same liczby, lecz z
prawdopodobieństwem odpowiednio p2 i 1 − p2 . Wygrywa A, jeśli suma jest parzysta,
natomiast jeśli suma jest nieparzysta, to wygrywa gracz B. Jakie jest
prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z graczy? Jeśli A zna wartość p2 , to jaką
wartość p1 powinien wybrać, by uzyskać maksymalne prawdopodobieństwo wygrania?
5. Niech B będzie jakimś zdarzeniem losowym. Zdefiniujemy zmienną losową
0,
1,
χB (ω) =
ω ∈ B,
/
ω ∈ B.
Ile jest
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)