Środki ciężkości ciał jednorodnych

Nasza ocena:

5
Pobrań: 21
Wyświetleń: 1015
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Środki ciężkości ciał jednorodnych - strona 1 Środki ciężkości ciał jednorodnych - strona 2 Środki ciężkości ciał jednorodnych - strona 3

Fragment notatki:


4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej     Bryłą jednorodną nazywamy ciało materialne, w którym masa jest  rozmieszczona równomiernie w całej jego objętości. Dla takich ciał zarówno  gęstość, jak i ciężar właściwy są wielkościami stałymi. Jeżeli ciężar właściwy  oznaczymy przez  γ, a objętość bryły przez V, to całkowity ciężar oraz ciężar  elementu objętości bryły możemy wyrazić wzorami:    G V = γ γ , dG = dV .    Po podstawieniu tych zależności do wzorów (4.5) oraz (4.6) i skróceniu przez stały  czynnik  γ otrzymamy:     r r C V dV V = ∫ ,                   (4.11)  x xdV V ydV V z zdV V C V V C V = = = ∫ ∫ , y , C ∫ .            (4.12)    Obszarem całkowania jest tutaj cała objętość bryły V.    Z otrzymanych wzorów wynika, że położenie  środka ciężkości (środka masy)  brył jednorodnych  zależy tylko od ich kształtu geometrycznego.   W  wyznaczaniu  środków ciężkości pomocne jest następujące twierdzenie,  którego dowód pozostawiamy Czytelnikowi.     Jeżeli bryła jednorodna ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii, to środek  ciężkości tej bryły będzie leżał na płaszczyźnie, osi lub w środku symetrii.    Przykład 4.1.  Wyznaczyć położenie  środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa  foremnego o podstawie kwadratu o boku b i wysokości h (rys. 4.3).       Rozwiązanie . Ponieważ oś z jest osią symetrii, środek ciężkości będzie leżał na  tej osi, czyli  . Wystarczy zatem wyznaczyć jedną współrzędną    z trzeciego wzoru (4.12).  x y C = = C 0 z C     dz z b bz b z y x h O C       Rys. 4.3. Wyznaczanie środka ciężkości ostrosłupa      z zdV V C V = ∫ .                        (a)    W mianowniku tego wzoru występuje objętość ostrosłupa:      V b h = 2 3 .                        (b)    W celu wyznaczenia całki występującej w liczniku wzoru (a) ostrosłup podzielimy  na elementy dV w postaci cienkich płytek kwadratowych, równoległych do  podstawy xy, o boku bz i grubości dz. Objętość tak przyjętego elementu    dV b dz z = 2 .    Bok krawędzi elementu znajdziemy z proporcji wynikającej z rysunku:    b b h z h z = − ,   stąd    ( ) b b h h z z = − .      Mamy więc:    ( ) dz z h h b dV 2 2 2 − = .                 (c)    Po podstawieniu wzorów (c) i (b) do (a) i wykonaniu całkowania otrzymamy  szukaną współrzędną środka ciężkości:    ( ) ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz