To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej Bryłą jednorodną nazywamy ciało materialne, w którym masa jest rozmieszczona równomiernie w całej jego objętości. Dla takich ciał zarówno gęstość, jak i ciężar właściwy są wielkościami stałymi. Jeżeli ciężar właściwy oznaczymy przez γ, a objętość bryły przez V, to całkowity ciężar oraz ciężar elementu objętości bryły możemy wyrazić wzorami: G V = γ γ , dG = dV . Po podstawieniu tych zależności do wzorów (4.5) oraz (4.6) i skróceniu przez stały czynnik γ otrzymamy: r r C V dV V = ∫ , (4.11) x xdV V ydV V z zdV V C V V C V = = = ∫ ∫ , y , C ∫ . (4.12) Obszarem całkowania jest tutaj cała objętość bryły V. Z otrzymanych wzorów wynika, że położenie środka ciężkości (środka masy) brył jednorodnych zależy tylko od ich kształtu geometrycznego. W wyznaczaniu środków ciężkości pomocne jest następujące twierdzenie, którego dowód pozostawiamy Czytelnikowi. Jeżeli bryła jednorodna ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii, to środek ciężkości tej bryły będzie leżał na płaszczyźnie, osi lub w środku symetrii. Przykład 4.1. Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa foremnego o podstawie kwadratu o boku b i wysokości h (rys. 4.3). Rozwiązanie . Ponieważ oś z jest osią symetrii, środek ciężkości będzie leżał na tej osi, czyli . Wystarczy zatem wyznaczyć jedną współrzędną z trzeciego wzoru (4.12). x y C = = C 0 z C dz z b bz b z y x h O C Rys. 4.3. Wyznaczanie środka ciężkości ostrosłupa z zdV V C V = ∫ . (a) W mianowniku tego wzoru występuje objętość ostrosłupa: V b h = 2 3 . (b) W celu wyznaczenia całki występującej w liczniku wzoru (a) ostrosłup podzielimy na elementy dV w postaci cienkich płytek kwadratowych, równoległych do podstawy xy, o boku bz i grubości dz. Objętość tak przyjętego elementu dV b dz z = 2 . Bok krawędzi elementu znajdziemy z proporcji wynikającej z rysunku: b b h z h z = − , stąd ( ) b b h h z z = − . Mamy więc: ( ) dz z h h b dV 2 2 2 − = . (c) Po podstawieniu wzorów (c) i (b) do (a) i wykonaniu całkowania otrzymamy szukaną współrzędną środka ciężkości: ( )
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)