To tylko jedna z 15 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
4.1. Środek ciężkości i środek masy Rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach mk (k = 1, 2, . . . , n), na które działają siły ciężkości G k (rys. 4.1). Niech położenie tych punktów względem punktu odniesienia O określają wektory wodzące r k, jak na rysunku. Wiadomo, że siły ciężkości poszczególnych punktów są równe iloczynowi masy przez przyśpieszenie ziemskie, G k = mk g , i są skierowane do środka kuli ziemskiej. Ponieważ wymiary układów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach technicznych są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, siły ciężkości możemy uważać za siły równoległe. Punkt C położenia wypadkowej sił ciężkości G nazywamy środkiem ciężkości układu lub ciała materialnego. Punkt ten nie zależy od obrotu układu lub ciała materialnego. Skoro siły ciężkości są siłami równoległymi, to do określenia położenia środka ciężkości C możemy wykorzystać wzory wyprowadzone w p. 3.9.1 na środek układu sił równoległych. Wektor wodzący r C środka ciężkości C układu punktów materialnych zgodnie ze wzorem (3.54) będzie wyrażał związek: r r C k k k n G G = = ∑ 1 . (4.1) Współrzędne środka ciężkości C w prostokątnym układzie współrzędnych otrzymamy ze wzorów (3.55): x x G G y y G G z z G G C k k k n C k k k n C k k k n = = = = = ∑ ∑ ∑ 1 1 , , =1 . (4.2) We wzorach (4.1) i (4.2) G jest ciężarem całkowitym układu materialnego: G G k k n = = ∑ 1 . W przypadku ciała materialnego o ciągłym rozmieszczeniu masy, jakim jest bryła, dzielimy je myślowo na n małych elementów o masach ∆mk i ciężarach ∆Gk (rys. 4.2). Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2) ∆Gk zamiast Gk otrzymamy wzory na przybliżone położenie środka ciężkości bryły: r r C k k k n G G = = ∑ ∆ 1 , (4.3) x x G G y y G G z z G G C k k k n C k k k n C k k k n = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∆ ∆ 1 1 , , ∆ 1 . (4.4) m1 G n G k G2 G 1 r n O r C y x m2 r2 r k mk z mn C r 1 G Rys. 4.1. Siły ciężkości jako siły równoległe z y x O ∆mk r k C G ∆ G k r C Rys. 4.2. Wyznaczanie środka ciężkości dowolnej bryły Dokładny wzór na promień wodzący r C środka ciężkości C otrzymamy, biorąc granicę sumy występującej we wzorze (4.3) przy liczbie elementów n dążącej do
(…)
…
ciężkości tej bryły będzie leżał na płaszczyźnie, osi lub w środku symetrii.
Przykład 4.1. Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa
foremnego o podstawie kwadratu o boku b i wysokości h (rys. 4.3).
Rozwiązanie. Ponieważ oś z jest osią symetrii, środek ciężkości będzie leżał na
tej osi, czyli x C = y C = 0 . Wystarczy zatem wyznaczyć jedną współrzędną z C
z trzeciego wzoru (4.12).
z
dz
h…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)