silnia - omówienie

SILNIA
( !) jest iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż .
Silnią liczby naturalnej
Funkcję ∙ !: ℕ → ℕ definiuje się jako:
= 1 ∙ 2 ∙ …∙
!=
≥1
1
=0
lub rekurencyjnie:
1
=0
∙ ( − 1 )!
≥1
!=
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
Wartość ! pozwala określić liczbę możliwych permutacji n elementów (wzajemnie jednoznaczne
przekształcenie zbioru n-elementowego na siebie).
Silnia pojawia się również w wielu zastosowaniach (rachunek prawdopodobieństwa, statystyka).
Szczególne znaczenie ma możliwość szybkiego wyznaczania silni dużych liczb.
Obliczanie wartości silni z definicji jest, poza najmniejszymi wartościami, uciążliwe i pracochłonne, a
bardzo często także technicznie niemożliwe do wykonania.
Dlatego też najczęściej stosuje się przybliżony wzór Stirlinga na !:
! ≈ √2
dający dla wartości
∙
20 poniżej 0,5% błędu oszacowania. Bardziej formalnie:
!
lim
→
=1
∙
√2
Dokładniejsza od wzoru Stirlinga na ! jest formuła:
! ≈ √2
gdzie
≤
≤
∙
∙
.
Można również zdefiniować rekurencyjnie silnię k-tą (k-krotną), oznaczaną jako !( ) :
1
!(
)
0≤
... zobacz całą notatkę