Rozwinięcia sygnałów w szereg Fouriera

Rozwini ę cia sygnałów w szereg Fouriera  v.0.3    Szereg Fouriera:  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 cos sin 2 n n k a x t a k t b k t ω ω ∞ = = + + ∑   Transformacja Fouriera:  ( ) ( )  j t X x t e dt ω ω +∞ − −∞ = ∫                                   Sinus:    0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ω |X ( ω )|   { } { } 11 0 0,1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 n n n b = = =   ( ) ( ) 0 sin x t t ω =   ( ) ( ) 0 sin x t t ω =   ( ) ( ) 0 0 X ω ω πδ ω ω ≥ = −         Przebieg prostokątny:    x (t)    0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ω |X ( ω )|   { } 11 0 4 4 4 4 4 4 0, , 0,  , 0,  , 0,  , 0,  , 0,  3 5 7 9 11 n n n b π π π π π π = =   =       ( ) ( ) ( ) 0 sgn sin x t t ω =   ( ) ( ) 0 1,3,5... 4 1 sin k x t k t k ω π ∞ = = ∑   ( ) ( ) 0 0 1,3,5... 1 4 k X k k ω ω δ ω ω ∞ ≥ = = − ∑         Przebieg trójkątny:      0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ω |X ( ω )|   { } 11 2 2 2 2 2 2 0 8 8 8 8 8 8 0, , 0,  , 0,  , 0,  , 0,  , 0,  9 25 49 81 121 n n n b π π π π π π = =   = − − −       ( ) ( ) ( ) 0 sgn sin x t t dt ω = ∫   ( ) ( ) ( ) 1 2 0 2 2 1,3,5... 1 8 sin k k x t k t k ω π − ∞ = − = ∑   ( ) ( ) 0 2 0 1,3,5... 8 1 k X k k ω ω δ ω ω π ∞ ≥ = = − ∑     Idealny prostownik jednopołówkowy:      0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ω |X ( ω )|   { } 11 0 1 1 1 1 1 1 1 , , ,  0,   ,  0,   ,  0,   ,  0, 4 3 15 63 99 143 n n n a π π π π π π = =   = − −       x (t)  x (t)  x (t)  X ( ω)  ( ) ( ) ( ) 0 0 cos cos 2 t t x t ω ω + =   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 2 0,2,4,6... 1 1 1 cos cos 4 1 k k x t t k t k ω ω π + ∞ = − = + − ∑   ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 2,4,6... 1 4 1 k X k k ω π ω

(…)

… ) )
0.8
0.9
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ω
Twierdzenie o próbkowaniu
Ilustracja twierdzenia o próbkowaniu dla sygnałów sinusoidalnych o częstotliwości (licząc od góry)
20Hz, 120Hz i 220Hz oraz dla częstotliwości próbkowania 100Hz. W pierwszym przypadku (20Hz)
jesteśmy w stanie poprawnie odtworzyć sygnał zaś w dwóch pozostałych wystąpi już niejednoznaczność.
…
… 
π
X (ω ) ω ≥ 0 = 2
cos ( kω0t )
∞
1
δ ( ω − k ω0 )
k = 0,2,4,6... k − 1
∑
2
Modulacja AM:
3
x(t)
2.5
ωc = 8, ωm = 1
|X(ω)|
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
ω
{bn }n = 0
n =11
x ( t ) = A ⋅ sin (ωm t ) ⋅ cos (ωc t ) +
cos (ωc t )
Modulacja FM:
x (t ) =
A
⋅ sin ( (ωc − ωm ) t ) +
2
A
⋅ sin ( (ωc + ωm ) t ) +
2
cos (ωc t )
1 1


=  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ,1, , 0, 0 
2 2


X (ω ) ω ≥ 0


 δ ( ω − ωc…
... zobacz całą notatkę