To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów.
3.1 Na czym polegają metody iteracyjne rozwiązywania rozważanego obecnie zadania numerycznego (dla przypadku skalarnego). Zdefiniować wykładnik zbieżności takich metod. Podać ten wykładnik dla metody: siecznych, stycznych, bisekcji.
Metody iteracyjne polegają na tworzeniu ciągu kolejnych przybliżeń xk, który zbiega do rozwiązania a.
Wykładnik zbieżności metod-jest to największa liczba p (p³1), że | ek+1 | £ C*( | ek | )^p, gdzie ek=a-xk, zaś C jest stałą nieujemną zależną zazwyczaj od funkcji f (lub jej pochodnych). Wykładnik zbieżności dla metody:
• Siecznych: p=(l+Ö5 )/2 (p»1.62) - zbieżność ponadliniowa
• Stycznych: p=2 - zbieżność ponadliniowa
• Bisekcii: p=l - metoda jest wtedy zbieżna liniowo
3.2 Dla równania skalarnego, omówić metodę
• siecznych - opis metody:
a)wybieramy dwa punkty startowe x0 i x1 z przedziału, w którym poszukujemy pierwiastka,
b)kolejne przybliżenia xk+1, k=0,1,2,.. obliczamy ze wzoru: xk+1=xk-f(xk)×{[(xk-xk-1)]/[f(xk)-f(xk-1)]}.
Warunki kończenia iteracji: l) ½ xk+1-xk½£e, 2) ½ xk+1-xk½£e×½xk+1½, 3) ½f(xk+1)½£e.
Zapewniamy zbieżność metody gdy:
1) f jest funkcją klasy C2 ([a,b])
2) f(a)*f(b)0; zbieżność jest z wykładnikiem p=2
• bisekcji - opis metody:
a)dzielimy przedział [a,b] na połowę punktem x1==(a+b)/2,
b)jeżeli f(x1)=0, to x1 jest pierwiastkiem i metodę kończymy,
c)jeżeli f(x1)¹0 to wybieramy ten z podprzedziałów [a,x1] lub [x1,b], w którym funkcja zmienia znak.
W tej metodzie z góry można określić liczbę iteracji potrzebną do uzyskania dokładności e
Metoda ta jest liniowo zbieżna gdy wykładnik p=l i stała C=0,5
3.3 Podać założenia dotyczące funkcji f, przedziału [a,b], punktów (punktu) startowych, zapewniające zbieżność do pierwiastka ciągu generowanego przez metodę:
(…)
… xo i x1 wybieramy z przedziału w którym poszukujemy pierwiastka, przyjmując je tak by f(xo)-f "(xo)>0 i f(x1)'-f"(x1)>0
• stycznych - f jest funkcją klasy C2[a,b]), f(a)*f(b)<0, na przedziale [a,b] f' i f "nie zmieniają znaku, punkt startowy xo wybieramy z przedziału w którym poszukujemy pierwiastka, przyjmujemy je takie by f(xo)*f "( xo)>0
• bisekcji - f jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)