Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych Rozważmy dwie niezależne zmienne losowe posiadające dystrybuanty odpowiednio . Dystrybuantę sumy otrzymujemy ze wzoru: i nazywamy splotem dystrybuant , co symbolicznie zapisujemy: .
W przypadku, gdy rozkłady są ciągłe : , co również symbolicznie będziemy zapisywać: .
W przypadku zmiennych skokowych : ,
sumujemy po u , takich,że .
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o dystrybuantach . Rozkład ich sumy wyznaczamy następująco:
Gdy zmienne mają identyczne rozkłady ( ), wówczas rozkład nazywamy n -tym splotem F i oznaczamy .
Definicja zmiennej losowe o rozkładzie arytmetycznym Zmienną losową skokową, która przyjmuje nieujemne wartości całkowite nazywamy zmienną o rozkładzie arytmetycznym. Zad. 1. Wykazać, że jeżeli są niezależnymi zmiennymi losowymi, to wówczas funkcja tworząca momenty rozkładu sumy jest równa: . Wykazać analogiczną własność dla funkcji charakterystycznej. Zad. 2. Wykazać, że jeżeli są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie arytmetycznym, to wówczas funkcja tworząca rozkładu sumy jest równa: . Zad. 3 Wyznaczyć funkcję tworzącą i funkcję tworzącą momenty rozkładu geometrycznego ( ). Dokonać obliczeń dla .
Zad. 4. Niech niezależne zmienne i losowe mają rozkłady jednostajne odpowiednio na przedziałach: , . Wyznaczyć rozkład sumy .
Zad. 5. Dwie niezależne zmienne losowe mają następujące rozkłady:
zmienna : 0 1 2 0,25 0,25 0,50 zmienna : 0 3 0,50 0,50 Wyznaczyć rozkład sumy korzystając z:
definicji
funkcji tworzącej
szybkiej transformaty Fouriera (FFT)
Zad. 6 Niezależne zmienne losowe mają następujące rozkłady:
zmienna : 0 1 2 3
0,4 0,3 0,2 0,1
zmienna : 0 1 2
3
4
0,5 0,2 0,1
0,1
0,1
zmienna : 0 2 3
4
5
0,6 0,1 0,1
0,1
0,1
Wyznaczyć rozkład sumy
(…)
… wypłacone odszkodowanie w wysokości 4 jednostki pieniężne z prawdopodobieństwem jeden.)
Prawdopodobieństwo
Suma ubezpieczenia (wypłata)
1
2
3
4
5
0.02
1
-
2
3
-
0.03
-
2
-
-
1
0.06
2
-
1
-
2
0.07
-
-
-
3
1
0.09
-
2
1
1
-
Źródło: Dane umowne.
Wyznaczyć składkę netto dla tego portfela ( ).
Ocenić ryzyko portfela (jako miarę ryzyka przyjąć odchylenie standardowe i współczynnik zmienności wypłat…
… nie został przekroczony przez wypłacone odszkodowania. Porównać wysokość tego funduszu z wysokością funduszu wyznaczonego na takim samym poziomie bezpieczeństwa, ale przy założeniu, że rozkład łącznej wypłaty został przybliżony rozkładem normalnym. Zad. 9. Pewna firma zatrudniająca 14 pracowników wykupiła grupowe ubezpieczenie na życie. W celu ustalenia składki i ryzyka dla portfela złożonego z ubezpieczonych pracowników tej firmy aktuariusz, na podstawie tablic trwania życia, zebrał informacje przedstawione w poniższej tabeli.
Pracownik
j
Wiek
(w latach)
Płeć
Suma ubezpieczenia [w tys. zł]
Prawdopodobieństwo śmierci 1
20
M
15
0,00149
2
23
M
16
0,00142
3
27
M
20
0,00128
4
30
M
28
0,00122
5
31
M
31
0,00123
6
46
M
18
0,00353
7
47
M
26
0,00394
8
49
M
24
0,00484
9
64
M
60
0,02182
10
17
K
14
0,00050
11
22
K
17
0,00050
12
26
K
19
0,00054
13
37
K
30
0,00103
14
55
K
55
0,00479
W przypadku śmierci wypłacana jest cała suma ubezpieczenia.
Wyznaczyć składkę netto dla tego portfela.
Oszacować ryzyko portfela (jako miarę ryzyka przyjąć odchylenie standardowe i współczynnik zmienności wypłat).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że ubezpieczyciel wyznaczając podwyższoną składkę netto zgodnie z zasadą wartości oczekiwanej…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)