To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
PIERWSZEGO RZĘDU
I.
Równania o zmiennych rozdzielonych
Przekształcamy tak, żeby uzyskać:
związek
z y dy związek z x dx
/
związek z y dy związek z x dx
Rozwiązanie
II.
Równania typu y ' f ax by c
Podstawiamy:
t ax by c , wyznaczamy y i przechodzimy na równanie typu I
(o zmiennych rozdzielonych).
III.
Podstawiamy: t
rozdzielonych).
IV.
y
x
Równania typu y ' f
y
, wyznaczamy y i przechodzimy na równanie typu I (o zmiennych
x
a1 x b1 y c1
a2 x b2 y c2
Równania typu y ' f
Jeśli a1b2 b1a2 0 , wtedy:
a x b1 y c1 0
x
Rozwiązujemy układ równań 1
, mamy rozwiązanie
,
a2 x b2 y c2 0
y
podstawiamy
x u
y v
, oraz
dy dv
i przechodzimy na równanie typu III.
dx du
Jeśli a1b2 b1a2 0 , wtedy:
wyciągamy a1 , a2 przed nawias ze składników z x i y i przechodzimy na równanie typu II.
V.
Równania liniowe p x y q x y r x
1. Rozwiązujemy równanie p x y q x y 0 . Jest to równanie o zmiennych
rozdzielonych. Mamy rozwiązanie w postaci: y C .
2. W rozwiązaniu y C
„uzmienniamy stałą” i mamy y C x
.
3. Z powyższego obliczamy y .
4. y i y wstawiamy do wyjściowego równania. Składniki z C x powinny się skrócić.
Wyznaczamy C x .
5. Związek C x
obustronnie całkujemy. Mamy wynik: C x .
6. C x wyznaczone w 5. wstawiamy do 2. i mamy rozwiązanie.
VI.
n
Równania Bernoulliego p x y q x y r x y
Podstawiamy: z y1n , z tego podstawienia wyznaczamy y, y, y n i wychodzimy na
równanie liniowe (typu V).
2
VII. Równania Riccatiego y p x y q x y r x
Mamy dane rozwiązanie (całkę) szczególną: y1 x
Podstawiamy: y y1 x
1
i wychodzimy na równanie liniowe (typu V).
u
VIII. Równania Clairauta y xy f y
Równanie obustronnie różniczkujemy, wychodzimy na równanie: y '' x f ' y ' 0 , z
równań y '' 0 i x f y ' 0 wyznaczamy y ( y '' 0 obustronnie całkujemy ) i
wstawiamy do wyjściowego równania, otrzymując w ten sposób rozwiązania.
IX.
Równania różniczkowe zupełne P x, y dx Q x, y dy 0
Spełniony musi być warunek:
Q P
x y
F
x P x, y
Rozwiązujemy układ równań
, rozwiązaniem jest funkcja F x, y .
F Q x, y
y
Rozwiązanie całego równania zapisujemy w postaci: F x, y C .
X.
Czynnik całkujący P x, y dx Q x, y dy 0
Jeśli warunek
Q P
nie jest spełniony, szukamy czynnika całkującego x, y .
x y
I.
1 P Q
1 P Q
Q y x dx
Jeśli związek
jest funkcją tylko zmiennej x, wtedy x, y x e
Q y x
II.
1 Q P
P x y dy
1 Q P
Jeśli związek
jest funkcją tylko zmiennej y, wtedy x, y y e
P x y
Równanie wyjściowe obustronnie mnożymy przez znalezione x lub y i
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)