To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ
Równania różniczkowe.
1
Chemia - przełom semestru 1 i 2: Równania różniczkowe.
Część 1. Równania różniczkowe rzędu pierwszego.
1. Równanie o zmiennych rozdzielonych:
dy
f (x)
=
. Rozwiązaniem jest
dx
g(y)
g(y)dy =
f (x)dx + C.
2. Równanie jednorodne (względem x i y; nie mylić z równaniem liniowym jednorodnym, tzn. o prady
y
wej stronie równej zeru - zob. poniżej):
=f
. Równanie to można za pomocą podstawienia
dx
x
y
u(x) = (wtedy y = ux, y = u x + u) sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych.
x
dy
3. Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego:
+ p(x)y = q(x). Rozwiązujemy najpierw
dx
dy
równanie liniowe jednorodne czyli
+p(x)y = 0 – jest to równanie o rozdzielonych zmiennych.
dx
Rozwiązanie otrzymujemy w postaci y(x) = Ce− p(x)dx = CΦ(x), z pewną ustaloną funkcją Φ.
Następnie „uzmienniamy” stałą C, tzn. zakładamy, że rozwiązaniem równania niejednorodnego
jest funkcja postaci: y(x) = C(x)Φ(x), z pewną nową funkcją niewiadomą C(x). Podstawiamy y(x)
do rozwiązywanego równania i znajdujemy najpierw funkcję C (x) (samo C(x) powinno wszędzie
się uprościć), a następnie, całkując - znajdujemy C(x).
dy
+ p(x)y = q(x)y α (gdzie α = 0, 1, bo jeśli α = 0 jest
4. Równanie różniczkowe Bernoulliego:
dx
to po prostu rozważone poprzednio równanie liniowe, zaś jeśli α = 1 to jest to równanie liniowe
jednorodne, a więc o rozdzielonych zmiennych). Po ewentualnym podzieleniu przez y α za pomocą
podstawienia z(x) = y 1−α sprowadzamy do równania liniowego.
5. Równanie różniczkowe zupełne: równanie postaci P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, gdzie lewa strona
jest różniczką zupełną pewnej funkcji F (x, y) (zwanej również potencjałem pola wektorowego
∂F
∂F
= P (x, y) i
= Q(x, y) (równoważnie, dwuwymiarowy gradient funkcji F jest
[P, Q]), tzn.
∂x
∂y
równy właśnie [P, Q]: [Fx , Fy ] = [P, Q], czyli Fx = P i Fy = Q). Rozwiązaniem równania zupełnego
(w postaci uwikłanej) jest wtedy rodzina wszystkich krzywych F (x, y) = C. Jeżeli funkcje P i Q
posiadają ciągłe pierwsze pochodne w danym obszarze płaskim D, to warunkiem koniecznym na
∂P
∂Q
to aby równanie było zupełne (w D) jest, aby pochodne „na krzyż” były sobie równe:
=
.
∂y
∂x
W przypadku gdy obszar D jest jednospójny (mówiąc obrazowo, ale niezbyt ściśle, nie posiada
„dziur”), to wspomniany warunek jest również warunkiem dostatecznym. W praktyce zamiast
sprawdzać czy warunek konieczny jest również warunkiem dostatecznym, po prostu znajdujemy
potencjał F , i fakt możliwości jego znalezienia jest jednocześnie dowodem na to, że dane równanie
jest zupełne.
Funkcję F o której jest mowa w definicji równania zupełnego (i której znalezienie jest równoznaczne
ze znalezieniem rozwiązania danego równania) znajdujemy poprzez dwukrotne całkowanie, wykorzystując najpierw np. warunek Fx = P ; całkując obustronnie, znajdujemy F z dokładnością,
jak zwykle przy całkowaniu, do stałej; ale ponieważ przy tym całkowaniu druga zmienna (w tym
przypadku y) jest parametrem, więc owa „stała” w istocie
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)