To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przykład 6.4. Równania równowagi wewnętrznej
Równania równowagi wewnętrznej mają postać:
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz
+
+
+ ρX = 0
∂x
∂y
∂z
∂τ yx ∂σ y ∂τ yz
+
+
+ ρY = 0
∂x
∂y
∂z
∂τ zx ∂τ zy ∂σ z
+
+
+ ρZ = 0
∂x
∂y
∂z
gdzie ρ jest gęstością materiału, natomiast X, Y, Z to składowe sił masowych odniesione do
jednostki masy. Zatem siły masowe odniesione do jednostki objętości wynoszą ρX , ρY ,
ρZ . Siłą masową w zagadnieniach statyki może być ciężar materiału, w zagadnieniach
dynamiki – siła d’Alemberta.
ZADANIE 1. Czy podane poniżej pola naprężeń (płaski stan naprężenia) mogą wystąpić w
ciele sprężystym będącym w równowadze? Zakładamy, że siły masowe nie występują.
c x + c 2 y c5 x − c1 y
a) [σ ij ] = 1
c5 x − c1 y c3 x − c5 y
3 2 2
− x y
b) [σ ij ] = 2
xy 3
xy 3
1
− y4
4
Rozwiązanie
a) Sprawdzamy czy równania równowagi wewnętrznej są spełnione:
∂σ x ∂τ xy
+
= c1 + 0 + 0 − c1 = 0 – spełnione
∂x
∂y
∂τ yx ∂σ y
+
= c5 + 0 + 0 − c5 = 0 – spełnione
∂x
∂y
b) Sprawdzamy czy równania równowagi wewnętrznej są spełnione:
∂σ x ∂τ xy
+
= −3 xy 2 + 3xy 2 = 0 – spełnione
∂x
∂y
∂τ yx ∂σ y
+
= y 3 − y 3 = 0 – spełnione
∂x
∂y
Odpowiedź: podane pola naprężeń mogą wystąpić w ciele sprężystym będącym
w równowadze.
ZADANIE 2. Jakie są siły masowe, jeżeli wiadomo, że podane naprężenia opisują stan
równowagi ciała sprężystego?
σ x = −2 x 2 + 3 y − 5 z
τ xy = 2 + 4 xy − 7
σ y = −2 y 2
τ xz = −3x + y + 1
τ yz = 0
σ z = 3x + y − 6 z − 5
Rozwiązanie
Podstawiamy naprężenia do równań równowagi wewnętrznej
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz
+
+
+ ρX = 0 ; − 4 x + 4 x + ρX = 0 ⇒ ρX = 0 ,
∂x
∂y
∂z
∂τ yx ∂σ y ∂τ yz
+
+
+ ρY = 0 ; 4 y − 4 y + ρY = 0 ⇒ ρY = 0 ,
∂x
∂y
∂z
∂τ zx ∂τ zy ∂σ z
+
+
+ ρZ = 0 ; − 3 + 0 − 6 + ρZ = 0 ⇒ ρZ = 9 .
∂x
∂y
∂z
Odpowiedź: siły masowe wynoszą ρX = 0 , ρY = 0 , ρZ = 9 .
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)