To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Rezonans w szeregowym obwodzie RLC. I. Wstęp teoretyczny. Poszczególne elementy układu: opornik R, kondensator C oraz cewka indukcyjna L włączone są do źródła prądu zmiennego o napięciu ( ) t U t U ω cos 0 = (rys. 1). Rys. 1. Schemat układu do pomiaru częstości rezonansowej w układzie szeregowym RLC. Suma sił elektromotorycznych w obwodzie powinna równać się sumie spadków napięć na elementach układu: ∫ + = − i R dt i C dt di L t U 1 cos 0 ω , (1) gdzie ( ) ϕ ω − = t i i cos 0 , ϕ -przesunięcie fazowe prądu względem napięcia. Po obustronnym zróżniczkowaniu równania (1) otrzymuje się równanie różniczkowe niejednorodne oscylatora harmonicznego tłumionego: − = + + ω ω U t L d i dt R di dt i C 0 2 2 sin . (2) Należy poszukać rozwiązania tego równania w postaci sumy rozwiązań: rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Ponieważ jednak rozwiązanie ogólne szybko zanika (patrz oscylator harmoniczny tłumiony) pozostaje zająć się tylko rozwiązaniem szczególnym. Szukamy rozwiązania szczególnego w postaci ( ) ϕ ω − = t i i cos 0 . Po podstawieniu tego wyrażenia do (1) otrzymujemy równanie: ( ) ( ) ( ) ϕ ω ϕ ω ω ϕ ω ω ω − + − + − − = t i R t C i t i L t U cos sin sin cos 0 0 0 0 . (3) Po skorzystaniu z odpowiednich wzorów trygonometrycznych grupujemy wyrazy z sin ω t i cos ω t: t U i t R C L t R C L ω ω ϕ ϕ ω ω ω ϕ ϕ ω ω cos cos cos sin 1 sin sin cos 1 0 0 = + − + + + − (4) Aby równanie to spełniało się tożsamościowo (dla dowolnych t) powinny być spełnione dwa warunki: 0 sin cos 1 0 = + + − i R C L ϕ ϕ ω ω . (5) 0 0 cos sin 1 U i R C L = + − ϕ ϕ ω ω . (6) Podnosząc oba równania do kwadratu i dodając stronami otrzymuje się: 0 2 0 2 2 2 0 1 U i R C L i = + − ω ω . (7) 2 2 0 0 1 R C L U i + − = ω ω . (8) Wynika stąd, że dla ω ω L C = 1
(…)
…, jak gdyby w obwodzie występował tylko opór bezindukcyjny,
natomiast amplitudy napięć zarówno między końcami uzwojenia indukcyjnego U0 L , jak i między okładkami
kondensatora U0C mogą przekraczać napięcie źródła.
Te różnice potencjałów są odpowiednio równe:
ω LU 0
U0
U 0L =
U 0C =
2
2
,
(9)
1
1
2 .
Lω −
+ R2
ω C Lω −
+ R
ωC
ω C
W rezonansie spełnione są zatem zależności:
U 0 L U 0C
1
ωL…
… oraz z wykresu wynika, że częstotliwość rezonansu wynosi około f=250 Hz.
Wiemy, że dla rezonansu słuszna jest zależność:
U0 L U0C
1
ωL
=
=
=
U0
U0 ω RC R
(*)
Aby sprawdzić, czy jest ona spełniona muszę znać wartości R,L,C (opór, indukcyjność i pojemność układu). Ponieważ w
przypadku rezonansu natężenie prądu ma taką samą wartość jak gdyby w obwodzie występował tylko opór opornicy
(dane biorę z tabeli dla wartości f=150 Hz):
UR
R=
Z prawa Ohma otrzymuję, iż :
I rezonansu
=
5,67V
≈ 166,8 Ω
0,034A
∆ I rez ⋅ U R
∆ UR
+
≈ 0,3 Ω
I rez
I2
rez
∆R =
R = ( 166,8 ± 0,3) Ω
Ostatecznie
Wiemy, że opór indukcyjny RL=ωL; stąd:
L=
RL
ω
ω = 2π f
oraz _ R L =
UL
.
I rez
Więc ostatecznie :
L=
UL
7,17V
=
≈ 0,224 H
I rez ⋅ 2π f 0,034A ⋅ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 150Hz
∆L=
1
I rez 2π f
U 2π f ⋅ ∆ I rez
∆ UL + L 2
I rez
≈ 0,003 H…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)