´
Przykład 4.4. Rdzen przekroju
Wyznaczy´ rdze´ poni˙ szego przekroju.
c
n
z
5a
4a
2a
2a
2a
3a
4a
Rozwiazanie
˛
Rozwiazywanie zadania rozpocza´ nale˙ y od okre´lenia charakterystyk geometrycznych prze˛
˛c
z
s
kroju. Aby znale´ c srodek ci˛ zko´ci nale˙ y przyja´ wyj´ciowy układ współrz˛ dnych Yp OZp .
z´ ´
e˙ s
z
˛c
s
e
5a
2a
2a
2a
Zp
4a
O
Yp
0,5a
3a
4a
Rozpatrywany przekrój jest figura zło˙ ona, co oznacza, ze nie potrafimy bezpo´rednio okre´li´
˛ z ˛
˙
s
s c
´
poło˙ enia jego srodka ci˛ zko´ci. Aby znale´ c ten punkt nale˙ y podzieli´ badany przekrój na
z
e˙ s
z´
z
c
1
´
figury proste, tj. takie, dla których znamy poło˙ enie srodka ci˛ zko´ci (prostokaty, trójkaty,
z
e˙ s
˛
˛
wycinki koła). Przyj˛ to podział na trzy figury: prostokat o wymiarach 7a x 8a, kwadrat o boku
e
˛
4a i trójkat prostokatny o wymiarach przyprostokatnych 5a i 2a. Dwie ostatnie figury b˛ da
˛
˛
˛
e ˛
traktowane jak figury o polu ujemnym.
⁄a
⁄ a
10 3
53
43
z3
⁄a
23
⁄a
2a
2a
y3
2a
O
Zp
z1
y1
2a
z2
Yp
y2
3,5a
1,5a
2a
Pole badanego przekroju jest równe:
A = 7a · 8a − (4a)2 −
1
· 5a · 2a = 56a2 − 16a2 − 5a2 = 35a2
2
za´ momenty statyczne
s
5
Syp = 56a2 · 0 − 16a2 · 1,5a − 5a2 · 3,5a − a = −24a3 − 9,167a3 = −33,17a3
3
4
Szp = 56a2 · 0 − 16a2 · 2a − 5a2 · −2a − a = −32a3 + 16,67a3 = −15,33a3
3
stad srodek ci˛ zko´ci ma współrz˛ dne
˛ ´
e˙ s
e
Sz c
−15,33a3
=
= −0,4381a
A
35a2
Sy
−33,17a3
zp = c =
= −0,9476a
A
35a2
yp =
2
2a
⁄a
⁄ a
53
23
⁄a
10 3
y1
Y
Zp
43
2a
Z
2a
O
z1
z2
2a
C
0,4381a
y3
⁄a
z3
Yp
y2
0,9476a
3,5a
1,5a
2a
Obliczmy momenty bezwładno´ci przekroju wzgl˛ dem osi Yp i Zp .
s
e
Jy p
(4a)4
2a · (5a)3
5
8a · (7a)3
2
2
−
+ 16a · (1,5a) −
+ 5a2 · 3,5a − a
=
12
12
36
3
2
=
= 228,7a4 − 57,33a4 − 23,75a4 = 147,6a4
Jz p =
7a · (8a)3 (4a)4
5a · (2a)3
4
−
−
+ 5a2 · −2a − a
12
3
36
3
2
=
= 298,7a4 − 85,33a4 − 56,67a4 = 156,7a4
Jy p z p
(5a)2 · (2a)2
5
4
= −16a · 1,5a · 2a −
+ 5a2 · 3,5a − a · −2a − a
72
3
3
2
=
= −48a4 + 29,17a4 = −18,83a4
Korzystajac ze wzorów Steinera mo˙ na obliczy´ warto´ c momentów bezwładno´ci wzgl˛ dem
˛
z
c
s´
s
e
osi centralnych Y Z.
Jy = 147,6a4 − 35a2 · (−0,9476a)2 = 116,2a4
Jz = 156,7a4 − 35a2 · (−0,4381a)2 = 149,9a4
Jyz = −18,83a4 − 35a2 · (−0,9476a) · (−0,4381a) = −33,36a4
Stad kwadraty promieni bezwładno´ci oraz iloraz
˛
s
symbol, nie za´ jako kwadrat liczby):
s
116,2a4
Jy
=
= 3,319a2
A
35a2
Jz
149,9a4
iz2 =
=
= 4,284a2
A
35a2
Jyz
−33,36a4
iyz2 =
=
= −0,9532a2
A
35a2
iy2 =
3
Jyz
A
2
≡ iyz2 maja warto´ci (iyz traktujemy jako
˛
s
Poszukiwany rdze´ przekroju wyznacza´ b˛ dziemy we współrz˛ dnych centralnych, a nie główn
c e
e
nych centralnych. Podej´cie to ma szereg zalet powodujacych, ze zastosowanie go w rozpatrys
˛
˙
´
wanym przypadku jest bardziej racjonalne ze wzgl˛ du na nakład oblicze n. Po pierwsze nie
e
ma potrzeby wyznaczania osi głównych przekroju oraz momentów bezwładno´ci i promieni
s
bezwładno´ci wzgl˛ dem tych osi. Po drugie nie musimy dokonywa´
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)