Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej Treści kształcenia: Przestrzeń probabilistyczna (definicja i własności) prawdopodobieństwo warunkowe, tw. o prawdopodobieństwie zupełnym, wzór Bayesa, zmienna losowa i dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym (rozkład jednopunktowy, dwupunktowy, Bernoulliego, Poissona) i ciągłym (rozkład wykładniczy, normalny) wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej, odchylenie standardowe Literatura: A. Plucińska, E. Pluciński „Probabilistyka” , Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, W-wa 2000 (rozdz. 1, 2) Przykładowe zadania I. Zdarzenia i prawdopodobieństwa zdarzeń 1) Z partii towaru zawierającej sztuki dobre i wadliwe losujemy 3. RozwaŜmy zdarzenia: A – wśród wylosowanych sztuk, dokładnie jedna jest dobra, B – co najwyŜej jedna sztuka jest dobra, C – co najmniej jedna sztuka jest dobra. Obliczyć P(A), P(B), P(C), P(A∪B). Wyjaśnić, co oznaczają zdarzenia: A’, B’, C’, A∩B, B∪C, B’∩C’, B’∪C’, (B∪C)’, (B∩C)’. 2) Rzucamy 2 razy symetryczną kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń: A – suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od 6, B – iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 6, C – przynajmniej jedna jest większa od 1. Wyznaczyć P(A∪B) oraz P(A’∩B’). 3) Liczby 1, 2, ….., n , zostały ustawione w przypadkowej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe: a) cyfry 1 i 2 znajdują się obok siebie w ustalonej kolejności, b) cyfry 1, 2, 3 znajdują się obok siebie? 4) Obliczyć, czy jednakowe jest prawdopodobieństwo wygrania w loterii zawierającej n losów, spośród których jeden wygrywa, czy w loterii zawierającej 2 n losów, spośród których dwa wygrywają, jeśli a) gracz kupuje jeden los, b) gracz kupuje dwa losy. 5) Winda rusza z siedmioma pasaŜerami i zatrzymuje się na 10 piętrach. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzeń: a) wszyscy wysiądą na tym samym piętrze, b) Ŝadnych dwóch pasaŜerów nie wysiądzie na tym samym piętrze, c) trzej pasaŜerowie wysiądą na 9-tym piętrze? 6) Dwudziestoosobowa grupa studencka, w której jest 6 kobiet, otrzymała 5 biletów do teatru. Bilety rozdziela się drogą losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wśród posiadaczy biletów znajdą się: a) dokładnie 3 Panie, b) co najmniej 3 Panie, c) co najwyŜej 3 Panie? 7) Odcinek o długości 10 cm podzielono w sposób losowy na 3 części. Długość kaŜdej części jest liczbą całkowitą. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe z tych części moŜna zbudować trójkąt?
(…)
… prawdopodobieństwo przekazania sygnału: a) przy połączeniu szeregowym dwu
przewodników (muszą działać oba przekaźniki), b) przy połączeniu równoległym (wystarczy, aby
jeden z przekaźników działał)
21) Trzech strzelców niezaleŜnie od siebie oddaje po jednym strzale do tarczy. Pierwszy oddaje 99
celnych strzałów na 100, drugi 98 na 100, a trzeci 196 na 200. Obliczyć prawdopodobieństwa: a)
tarcza zostanie trafiona…
…) Narysować wykresy rozkładu zmiennej losowej i dystrybuanty.
40) Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest następujący:
xi
pi
1
0,25
2
c
3
0,125
4
0,25
2,5
4
5
xi
0,1
0,3
C
pi
a) Wyznaczyć stałą c . Zdefiniować dystrybuantę i narysować jej wykres. Narysować wykres
rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej.
b) Obliczyć: P ( X = 0), P ( X = 3), P ( X < 3), P ( X ≤ 2 ), P ( X ≥ 3) , P (1,5 < X ≤ 3…
…. Jakie jest
prawdopodobieństwo Ŝe w serii 5 rzutów do kosza Karol: a) nie trafi ani raz, b) trafi 3 razy,
c) trafi co najmniej 4 razy, d) trafi co najwyŜej 1 raz, e) obliczyć przeciętną liczbę celnych
trafień oraz odchylenie standardowe w serii 5 rzutów, f) wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej opisującej liczbę celnych trafień w serii 5 rzutów i jej wykres, g) wyznaczyć
dystrybuantę i narysować jej wykres.
44…
… o prawdopodobieństwie zupełnym. Wzór Bayesa.
29) W magazynie fabryki są amperomierze pochodzące z trzech taśm produkcyjnych, przy czym
ilości amperomierzy z kaŜdej taśmy są takie same. Wiadomo, Ŝe dostawy z pierwszej taśmy
zawierają 0,5% braków, z drugiej zawierają 0,7% braków, a z trzeciej 1% braków. Wybrany w
sposób losowy amperomierz okazał się wadliwy (brakiem). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)