To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
PRAWO GAUSSA.
Strumień pola wektorowego. Strumień pola wektorowego o natężeniu przechodzący przez daną powierzchnię S definiujemy: . (1) Oznacza to, że powierzchnia przedstawiona jest za pomocą wektora doń prostopadłego, o długości proporcjonalnej do wielkości powierzchni - Rys.1.
Obliczenie strumienia jest banalne w przypadku powierzchni płaskiej. Jeżeli natomiast powierzchnia, przez którą przechodzi strumień pola składa się z kilku płaszczyzn, wówczas całkowity strumień oblicza się sumując strumienie przechodzące przez poszczególne płaszczyzny tzn. (2)
Dla przypadku pokazanego na Rys.2. całkowity strumień Φ = 4Φb + ΦPL+ ΦPP gdzie Φb jest strumieniem przechodzącym przez ściany boczne „pudełka”, a ΦPL i ΦPP są strumieniami przechodzącymi odpowiednio przez podstawy z lewej i prawej strony „pudełka”. W tym przypadku Φb = W⋅Sb⋅cos 900 = 0, natomiast ΦPP = W⋅Sp⋅cos 1800 = -W⋅S oraz ΦPL = W⋅Sp⋅cos 00 = W⋅S. Sumując te strumienie znajdujemy, że całkowity strumień przechodzący przez tę powierzchnię zamkniętą jest równy zero.
Podobnie należy postąpić w przypadku powierzchni, która nie jest płaska. W takiej sytuacji całą powierzchnię dzielimy na elementy - jak na Rys.28-2 z II t. podręcznika Halliday-Resnick. Strumień obliczamy zastępując we wzorze (2) sumowanie - całkowaniem (w tym przypadku po powierzchni zamkniętej): (3) Oczywiście, matematycznie może to być mniej lub bardziej skomplikowane - zależnie od kąta między wektorem natężenia pola a wektorem dS.
2. Prawo Gaussa.
Najprostsze sformułowanie tego prawa może być następujące:
Całkowity strumień pola wektorowego, przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do źródła tego pola zamkniętego wewnątrz tej wybranej powierzchni.
W przypadku pola grawitacyjnego: Φ = 4πG⋅m gdzie m jest masą zamkniętą wewnątrz wybranej przez nas powierzchni Gaussa, będącą źródłem pola grawitacyjnego, a G powszechną stałą grawitacji.
Dla pola elektrostatycznego: Φ = gdzie q jest źródłem pola elektrostatycz-nego, a ε0 jest przenikalnością elektryczną próżni.
Biorąc pod uwagę poznane definicje strumienia prawo Gaussa możemy więc zapisać:
Pole grawitacyjne: Pole elektrostatyczne:
(4) (5)
3. Zastosowanie prawa Gaussa. 3.1. Wybór powierzchni Gaussa. W każdym rozpatrywanym przez nas przypadku podstawowe znaczenie ma odpowiedni dobór powierzchni Gaussa. Samo sformułowanie prawa pozostawia nam całkowitą dowolność w wyborze powierzchni - jednakże pamiętając o możliwych trudnościach matematycznych, należy tak dobierać powierzchnie Gaussa, aby późniejsze obliczenia były jak najłatwiejsze. Generalną zasadą, jaką należy się kierować, jest taki wybór powierzchni, aby jej symetria odpowiadała symetrii źródła. W najprost-szym przypadku - źródła punktowego, dającego pole o symetrii sferycznej oczywistym wyborem powierzchni Gaussa będzie sfera mająca taka samą symetrię. Dla źródła wykazującego symetrię osiową najbardziej odpowiednią powierzchnia Gaussa będzie walec - jak na Rys.3. Taki wybór powierzchni daje dwojakie korzyści: po pierwsze stały jest kąt pomiędzy wektorem natężenia pola a wektorem
(…)
… potrzebną wartość natężenia pola grawitacyjnego g lub pola elektrostatycznego E.
Sądzę, że właściwe będzie zilustrowanie tych rozważań konkretnymi przykładami.
4
Rys.3
Rys.4 a, b, c
Rys.1
…
…
PRAWO GAUSSA.
Strumień pola wektorowego. Strumień pola wektorowego o natężeniu przechodzący przez daną powierzchnię S definiujemy: . (1) Oznacza to, że powierzchnia przedstawiona jest za pomocą wektora doń prostopadłego, o długości proporcjonalnej do wielkości powierzchni - Rys.1.
Obliczenie strumienia jest banalne w przypadku powierzchni płaskiej. Jeżeli natomiast powierzchnia, przez którą…
… Halliday-Resnick. Strumień obliczamy zastępując we wzorze (2) sumowanie - całkowaniem (w tym przypadku po powierzchni zamkniętej): (3) Oczywiście, matematycznie może to być mniej lub bardziej skomplikowane - zależnie od kąta między wektorem natężenia pola a wektorem dS.
2. Prawo Gaussa.
Najprostsze sformułowanie tego prawa może być następujące:
Całkowity strumień pola wektorowego, przechodzący…
…) jego gęstość objętościowa: dla masy lub dla ładunku . Dla rozkładu powierzchniowego definiujemy gęstość powierzchniową lub analogicznie . Przy liniowym rozkładzie masy lub ładunku (np. na jednowymiarowej nici) mówimy o gęstości liniowej definiowanej jako lub .
W powyższych wzorach V, S oraz L oznaczają odpowiednio objętość, powierzchnię lub długość wyłącznie tej części źródła pola, która jest zawarta wewnątrz…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)