Prawa algebry boolowskiej

1. P rawa algebry boolowskiej (które najważniejsze z punktu widzenia inżyniera?)Udowodnij przykłady: xy'+z+(x'+y)z'=1 oraz axy'+ax'y+a'y = (ax) XOR y 1) Algebrą Boole'a nazywamy zbiór B, wyróżnione jego podzbiory O i I oraz operacje dwuargumentowe +; •, które dla dowolnych elementów X, Y, Z zbioru B spełniają następujące aksjomaty: Aksjomaty X+Y ჎ B X•Y ჎ B ( domknięcie ) X+Y=Y+X X • Y=Y • X ( przemienność ) X •(Y+Z)=X •Y+X •Z X+Y •Z=(X +Y) • (X +Z) ( rozdzielność ) X+O=X X •I=X ( element neutralny ) X+X' =I X •X'=O ( element odwrotny ) Dwuelementową realizację algebry Boole'a otrzymujemy dla B={0,1}; O=0; I=1; +: 1+1=1; •: 1 •1=1; Jeżeli X=1, to X'=0 1+0=1; 1 •0=0; Jeżeli X=0, to X'=1 0+1=1; 0 •1=0; 0+0=0. 0 •0=0. 2) Właściwości alg ebry Boole'a a) Zasada dualizmu. Zastępując działanie `•' działaniem `+', a działanie `+' działaniem `•' oraz stałą I stałą 0, a stałą 0 stałą I w dowolnej tożsamości otrzymujemy również tożsamość. b) Idempotentność X•X=X X+X=X c) Łączność (X • Y) •Z=X • (Y • Z) (X +Y) +Z=X +(Y +Z) d) Pochłanianie X• (X+Y)=X X+(X•Y)=X e) Prawa de Morgana (X+Y)'=X' • Y' (X•Y)'=X'+Y' f) Prawo podwójnej negacji (X')'=X Uwaga! W algebrze Boole'a nie obowiązuje zasada skracania !!! Jeżeli A • B=A • C to nie znaczy że B=C. Podobnie: Jeżeli A + B=A + C to nie znaczy że B=C Ale: Jeżeli A • B=A • C i A + B=A + C to B=C 3) Podstawowe funkcje logiczne jednej i dwóch zmiennych Funkcja NOT f(x)=x' Funkcja AND f(x,y) = x • y Funkcja OR f(x,y) = x+y Funkcja NAND (NOT AND) f(x,y) = (x • y)' Funkcja NOR (NOT OR) f(x,y) = (x+y)' Funkcja EXOR (EXCLUSIVE OR) f(x,y)=x' •y+x •y' = x Ⴥ y Na podstawie: http://www.fpga.agh.edu.pl/tc/tc_pliki/algebrab.ppt Które prawa algebry Boole'a są najbardziej istotne z punktu widzenia hardware-designera? udowodnić: xy'+z+(x'+y)z'=1 trzeba skorzystać z 2 praw: a + a'b = a + b oraz a + 1 = 1. czyli: P=1 L=xy' + z + x'z' + yz' = xy' + (z + z'x') + yz' = xy' + z + x' + yz' = xy' + (z + z'y) + x' = xy' + z + y + x' = (y + y'x) + z + x' = y + x + z + x' = (x + x') + y + z = 1 + y + z = 1 + z = 1 ... zobacz całą notatkę