Podstawowe poj˛ecia teorii testowania hipotez Wykład 8; 2 kwietnia 2012 Zadanie statystyki- wnioskowanie (uzyskanie informacji) o populacji generalnej na podstawie wylosowanej z niej próby; lub: wnioskowanie nt. parametrów zmiennych losowych odpowiadaj ˛ acym tej populacji. Testowanie hipotezy o proporcji dla przypadku małej próby Władze gminy A rozwa˙zaj ˛ a problem: czy gminie potrzebna jest nowa linia autobu- sowa, ł ˛ acz ˛ aca miasta i wioski tej gminy z północn ˛ a cz˛e´sci ˛ a miasta W. Obiegowa opinia sugeruje, ˙ze 50 procent mieszka´nców gminy zainteresowanych jest korzystaniem z nowej linii. Chcieliby´smy (w jaki´s sposób) zweryfikowa´c prawdziwo´s´c tej hipotezy. Testowanie hipotezy o proporcji dla przypadku małej próby— c.d. Chcemy zweryfikowa´c hipotez˛e w oparciu o 12-elementow ˛ a prób˛e z odpowiedziami TAK lub NIE na pytanie: Czy uwa˙zasz za potrzebne utworzenie nowej linii autobu- sowej ł ˛ acz ˛ acej gmin˛e A z północn ˛ a cz˛e´sci ˛ a miasta W? Zakładamy, ˙ze odpowiedzi na te pytania s ˛ a: (a) od siebie niezale˙zne; (b) prawdopodobie´nstwo, ˙ze wybrany respondent odpowie na pytanie twierdz ˛ aco jest równe p, gdzie p ∈ (0, 1) jest nieznanym parametrem. odpowiedzi na pytanie— 12-elementowy ci ˛ ag składaj ˛ acy si˛e z odpowiedzi negaty- wnych (kodowanych przez 0) i pozytywnych (kodowanych przez 1)- jest realizacj ˛ a próby prostej z rozkładu Bin(1, p). Hipoteza zerowa i alternatywna Zainteresowani jeste´smy weryfikacj ˛ a hipotezy zerowej: H0 : p = 0,5 przeciwko hipotezie alternatywnej: H1 : p = 0,5. Innymi sensownymi hipotezami alternatywnymi mogłyby by´c: H 1 : p 0,5 lub H1 : p 0,5 (p 6 obliczamy korzystaj ˛ ac z równo´sci: P (Y = k) = P (Y = 12 − k). Problem: dla jakich warto´sci k s ˛ a podstawy do odrzucenia H0. Dla hipotezy alternatywnej H1 (dwustronnej) w gr˛e wchodz ˛ a zbiory: {0, 12}; {0, 1, 11, 12}, {0, 1, 2, 10, 11, 12}, . . .
(…)
…, 12}, {0, 1, 2, 10, 11, 12}, . . .
Konstrukcja obszaru krytycznego
Zbiór warto´ci k, dla których odrzucamy hipotez˛ zerowa i przyjmujemy hipotez˛ als
e
˛
e
ternatywna: obszar krytyczny.
˛
Obszar krytyczny równy zbiorowi pustemu — nie do przyj˛ cia!
e
K
P (Y ∈ K|H0 )
{0, 12}
0,0004882813
{0, 1, 11, 12}
0,0063476563
{0, 1, 2, 10, 11, 12}
0,0385742188
{0, 1, 2, 3, 9, 10, 11, 12}
0,1459960938
{0, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12}
0,3876953125
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 0,7744140625
P (Y = k|H0 ) oznacza prawdopodobie´ stwo zdarzenia Y ∈ K pod warunkiem prawdzin
wo´ci H0 .
s
Konstrukcja obszaru krytycznego— c.d.
Im wi˛ kszy jest obszar krytyczny K, tym wi˛ ksze jest prawdopodobie´ stwo odrzucee
e
n
nia H0 gdy jest ona prawdziwa (tzw. bł˛ du 1-go rodzaju) i tym mniejsze jest prawe
dopodobie…
…, 4, 8, 9, 10, 11, 12}
0,3876953125
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 0,7744140625
P (Y = k|H0 ) oznacza prawdopodobie´ stwo zdarzenia Y ∈ K pod warunkiem prawdzin
wo´ci H0 .
s
Konstrukcja obszaru krytycznego— c.d.
Im wi˛ kszy jest obszar krytyczny K, tym wi˛ ksze jest prawdopodobie´ stwo odrzucee
e
n
nia H0 gdy jest ona prawdziwa (tzw. bł˛ du 1-go rodzaju) i tym mniejsze jest prawe
dopodobie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)