Zestaw nr 3.Pochodna funkcji, twierdzenia o funkcjach rniczkowalnych.
Pochodna funkcji f (x) w punkcie x0 to (o ile ta granica istnieje).
Poch. sumy, iloczynu, ilorazu. Jeeli istniej i , to Jeeli y = f (x) ma pochodn f'(x) oraz funkcja z = g(y) ma pochodn g'(y), to funkcja zoona z = g[ f(x)] ma pochodn z'= g'[ f(x)]" f'(x)
Pochodne niektrych funkcji elementarnych
f (x)
x
xn
ex
ax
sin x
cos x
tg x
ctg x
ln |x|
logax
arcsin x
arc tg x
x-1
nxn-1
ex
axln a
cos x
sin x
Twierdzenie Rolle'a.
Jeeli funkcja f(x) jest ciga na przedziale i istnieje f'(x) na przedziale (a,b) oraz f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c " (a,b), e f'(c) = 0 . Twierdzenie Lagrange'a.
Jeeli funkcja f(t) jest ciga na przedziale domknitym o kocach x0 i x oraz ma pierwsz pochodn wewntrz tego przedziau, to istnieje taki punkt c lecy midzy x0 i x, e f(x)- f(x0) = f'(c)(x - x0).
Twierdzenie i wzr Taylora.
Jeeli funkcja f(t) ma cige pochodne do rzdu (n-1) wcznie na przedziale domknitym o kocach x0 i x oraz ma pochodn rzdu n wewntrz tego przedziau, to istnieje taki punkt c, lecy midzy x0 i x, e Zadania 1) Policzy z definicji pochodn funkcji f(x) = cos 2x. 2) Znale pochodne funkcji:
a)f(x) = sin (x2 sin x ) b)f(x) = arc tg ( ln x + x ) c) ; d)f(x) = 2sin x log2x
e) ; f)f(x) = ; g)f(x) = logx(sinx); (wsk.:logba=ln a/ln b); h)f(x) = xsin x (wsk: ab=eb ln a); i)f(x) = sin ( ln ); j)f(x) = xx. k) l) ; m) .
3) Dla jakich m i n funkcja f(x) jest rn. a) ; b) 4) Zbada rniczkowalno (zwaszcza w punkcie x=0) funkcji:
a) ; b) (czy tutaj ?)
5) Dobra parametr a, tak aby krzywa y = a (1 + x2 ) ln (x - 2) przecinaa o Ox pod ktem . 6) Wiadomo, e f jest ciga w i rniczkowalna w (a,b) oraz e f' jest ciga i rniczkowalna w (a,b),. i istnieje p. x0 " (a,b), taki e f(a) = f(x0) = f(b). Wykaza, e istnieje punkt c " (a,b), taki e f''(c) = 0.
7) Dla jakich wart. param. a parabola y=ax2 jest styczna do krzywej y=ln x.? 8) Pokaza, e prawdziwe s nier.
a) ; b) . 9) Wykaza, e funkcja jest staa na
(…)
…) Wiadomo, e f jest ciga w <a,b> i rniczkowalna w (a,b) oraz e f' jest ciga i rniczkowalna w (a,b),. i istnieje p. x0 " (a,b), taki e f(a) = f(x0) = f(b). Wykaza, e istnieje punkt c " (a,b), taki e f''(c) = 0.
7) Dla jakich wart. param. a parabola y=ax2 jest styczna do krzywej y=ln x.? 8) Pokaza, e prawdziwe s nier.
a) ; b) . 9) Wykaza, e funkcja jest staa na <1,+"). 10) Napisa rwnanie stycznej do wykresu…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)