To tylko jedna z 25 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Pochodna logarytmiczna Wzór ( ln f ( x ) ) = f ( x ) f ( x ) nosi nazwę pochodnej logarytmicznej . Przykład Oblicz, używając pochodnej logarytmicznej, pochodne następujących funkcji: • f ( x ) = u ( x ) v ( x ) • f ( x ) = 3 x 3 · sin2 x √ x 2+1 2 Różniczka funkcji Definicja Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0 . Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nazywamy funkcję df zmiennej ∆ x = x − x 0 określoną wzorem df def = f ( x 0) ∆ x. Uwaga Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0 , to f ( x 0 + ∆ x ) ≈ f ( x 0) + f ( x 0) ∆ x. Przykład Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość wyrażenia: √ 102 , 1 · log 10 , 21 . 3 Definicja (Różniczki wyższych rzędów) Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu n − 1 w otoczeniu punktu x 0 oraz pochodną rzędu n w punkcie x 0 , to d nf def = d [ d n− 1 f ( x ) ] x = x 0 . przy czym w każdym różniczkowaniu bierzemy ten sam przyrost ∆ x . Stąd d nf = f ( n )( x 0) ∆ x n. 4 Wzór Taylora Twierdzenie Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu n włącznie w przedziale [ a, b ] oraz ma skończoną pochodną rzędu n + 1 w przedziale ( a, b ) , to dla każdych dwóch różnych punktów x 0 , x ∈ [ a, b ] istnieje co najmniej jeden punkt c ∈ ( x 0 , x ) taki, że f ( x ) = f ( x 0) + f ( x 0) 1! ( x − x 0) + f ( x 0) 2! ( x − x 0) 2 + . . . . . . + f ( n )( x 0) n ! ( x − x 0) n + f ( n +1)( c ) ( n + 1)! ( x − x 0) n +1 , gdzie c = x 0 + Θ( x − x 0) , 0
(…)
…, w którym funkcja przechodzi z wklęsłej w wypukłą
lub z wypukłej w wklęsłą, nazywa się punktem przegięcia.
23
Twierdzenie
(Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Załóżmy, że funkcja f
jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
x0 . Wówczas, jeżeli ma ona w tym punkcie punkt przegięcia, to
f (x0) = 0 .
Twierdzenie
(Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x0 i
• f (x0) = 0 lub f (x0) nie istnieje,
• f
zmienia w punkcie
x0 znak z dodatniego na ujemny (z
ujemnego na dodatni),
to f ma w punkcie x0 punkt przegięcia.
Przykład Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty
24
przegięcia wykresu funkcji:
x4 − 3
a) f (x) =
Twierdzenie
x
b) f (x) = xe−4x
(Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia
dla funkcji n-krotnie różniczkowalnej)
Załóżmy, że funkcja f
punktu x0 i
jest n-krotnie różniczkowalna w otoczeniu
f (x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 a f (n)(x0) = 0 .
Wówczas jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to f ma w punkcie x0
punkt przegięcia.
Przykład
Zbadaj, czy funkcja f (x) = sin 2x + 4 sin x + 2x ma
ekstremum w punkcie x = π ?
Przykład
Zbadaj, czy funkcja f (x) = ex + e−x + cos2 x ma
punkt przegięcia w punkcie x = 0 ?
25
Przykład
promieniu…
…] → R będzie funkcją ciągłą. Liczbę
m ∈ R ( M ∈ R ) nazywamy wartością najmniejszą - minimum
absolutnym - (wartością największą - maksimum absolutnym -)
funkcji f , jeżeli m ∈ R ( M ∈ R ) jest wartością funkcji f
oraz
∀x∈[a,b]
Przykład
f (x)
m
∀x∈[a,b]
f (x)
Wyznacz ekstrema absolutne funkcji:
f (x) = 3|x| − x2
x ∈ [−2, 2]
M
22
Wklęsłość i wypukłość. Punkty przegiecia
Definicja Załóżmy…
… (2 − x) 2
x→1
13
Nieoznaczoność Stosowane przekształcenie Nowa nieoznaczoność
0 · ∞
f · g = f = g
1
1
g
∞ − ∞
1∞ ∞0 00
f − g =
f
1− 1
g f
1
fg
g = eln f g = eg ln f
f
∞
∞
0
0
0
0
e0·∞
14
Asymptoty wykresu funkcji
Definicja Niech funkcja f będzie okreslona w sąsiedztwie punktu
a . Prosta x = a jest asymptotą pionową funkcji f , jeżeli
lim f (x) = ±∞.
x→a
Uwaga
Jeżeli powyższy warunek spełniony…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)