To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Opis wektorów prędkości i przyspieszenia
w biegunowym układzie współrzędnych
W biegunowym układzie współrzędnych
położenie obiektu opisujemy przez podanie
odległości obiektu od początku układu
współrzędnych, czyli długości wektora
wodzącego, oraz kąta, jaki tworzy wektor
wodzący z poziomą osią kartezjańskiego
układu współrzędnych (osią OX).
v
∧
φ
r
Oznaczmy przez r wektor jednostkowy,
o kierunku i zwrocie zgodnym z wektorem
wodzącym obiektu. W takiej sytuacji wektor
wodzący można wyrazić jako:
∧
r
φ
=r r
r
Spróbujmy policzyć wektor prędkości obliczając pochodną po czasie z wyrażenia na :
r
d dr
r
dr
=
r r
dt dt
dt
Policzenie pochodnej odległości po czasie nie stanowi problemu, trzeba się zastanowić jak
policzyć pochodną wersora r . Najprościej można to zrobić używając składowych tego wersora
w układzie ortogonalnym:
r =[cos, sin ]
d
dr
=[−sin , cos ]
dt
dt
Jeżeli oznaczymy wektor o składowych [−sin , cos] jako wersor (jest to wektor
o jednostkowej długości, skierowany prostopadle do wersora r ), to pochodną wersora r po
czasie można zapisać jako:
dr d
=
dt
dt
Po wstawieniu tego do wzoru na wektor prędkości otrzymujemy:
v =
d
d
r
dr
= r r
= r v r v
dt
dt
dt
W ten sposób wektor prędkości został wyrażony przez składową radialną v r i składową
transwersalną v . Pierwsza z nich v r , odpowiada za zbliżanie się lub oddalanie obiektu od
centrum układu współrzednych, zaś druga v , odpowiada za przemieszczanie się prostopadle do
wektora wodzącego (bez zmiany odległości od centrum).
W następnym kroku policzmy wektor przyspieszenia, jako pochodną po czasie wektora
prędkości:
a=
Biorąc pod uwagę, że:
d
d v dv r
d r dv
=r
v r
v
dt
dt
dt
dt
dt
d
d
=−r
dt
dt
dr d
=
dt
dt
oraz że:
2
d v dr d
d
=
r
dt
dt dt
dt 2
d vr d2r
= 2
dt
dt
otrzymujemy na wektor przyspieszenia nastepujące wyrażenie:
2
d 2 r dr d dr d d d
a = r 2
r
−r r
dt dt
dt dt
dt
dt
dt
2
a dalej:
[
] [
d
d2r
a=r
−r
2
dt
dt
2
]
2
r d 2 dr d = r ar a
2
dt dt
dt
Tak więc wyraziliśmy wektor przyspieszenia a przez jego składowe równoległe odpowiednio
(składowa radialna) i wersora (składowa transwersalna). Jak widać tylko jeden
do wersora r
z wyrazów tego równania nie zawiera pochodnej φ po czasie. Jest to przypieszenie związane z
przybliżaniem się lub oddalaniem obiektu bez zmiany kierunku jego wektora wodzącego, które
wyraża sie przez drugą pochodna odległości po czasie. Ciekawsze jest przyjrzenie się co
otrzymujemy, kiedy wymusimy ruch ze stałą odległością od centrum (np. po kole), czyli z zerową
wartościa pochodnej odległości po czasie. Wtedy:
d
a =−r r
dt
2
r
d2
dt 2
Pierwsza część tego wyrażenia to po prostu przyspieszenie dośrodkowe, konieczne dla
wymuszenia ruchu po okręgu (r=const) , zaś druga część to przyspieszenie związane ze
zwiększaniem wartości prędkości w
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)