To tylko jedna z 12 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
4.2 Odwzorowania azymutalne Definicja Odwzorowaniem azymutalnym normalnym nazywamy odwzorowanie powierzchni kuli na płaszczyznę, w którym spełnione są dwa następujące warunki: obrazy południków tworzą pęk prostych przecinających się pod takimi samymi kątami jak południki na kuli, obrazy wszystkich równoleżników są kołami współśrodkowymi, których środek leży w wierzchołku powyższego pęku gdzie - funkcja kąta p ,
W płaszczyźnie stycznej przyjmujemy układ współrzędnych o środku w biegunie i o osi X stycznej do południka zerowego. Kat γ jest równy długości λ.
Dla tak przyjętych układów równania obu powierzchni będą miały postać:
(4.2.1)
Znajdujemy następnie skalę odwzorowania:
(4.2.2)
oraz współczynniki I formy kwadratowej dla kuli (S 1 ) oraz dla płaszczyzny (S 2 ):
, - I forma kwadratowa dla kuli
W dalszej kolejności wyznaczymy dla płaszczyzny:
czyli
Zatem wzór ogólny na skalę w odwzorowaniu azymutalnym będzie miał postać:
Następnie wyznaczymy skale główne odwzorowania. Kierunki główne pokrywają się tu z kierunkami południków i równoleżników (linii parametrycznych)
Skala w kierunku południków:
, → Skala w kierunku równoleżników: , → Mając wzory na skale w kierunkach głównych możemy poszukiwać odwzorowań o z góry zadanych właściwościach.
4.2.1 Odwzorowania azymutalne Rzut ortograficzny (Apoloniusz z Pergii 250-190 r. p.n.e. lub Hipparch ok. 130 r. p.n.e.) Jeśli rzutowanie powierzchni kuli na płaszczyznę zrealizujemy wzdłuż prostych prostopadłych do płaszczyzny rzutów, to otrzymamy rzut ortograficzny. Zgodnie z rysunkiem funkcja r(p) będzie równa:
A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:
Skale w kierunkach głównych oraz zniekształcenia w tym odwzorowaniu wyniosą:
- skrócenie w kierunku południków,
- zachowanie długości w kierunku równoleżników
Zniekształcenie kąta będzie równe:
czyli - kąty ulegają powiększeniu.
Skala pola będzie równa:
(…)
… środkowy (gnomiczny, centralny) (Tales z Miletu 639-548 r. p.n.e.)
W tym odwzorowaniu nie zakładamy z góry warunku na zniekształcenia. Obraz powierzchni kuli otrzymujemy jako rzut, którego środek jest w środku kuli. Korzystając z rysunku wyznaczymy funkcję r(p). Będzie ona równa:
A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:
W takim przypadku będzie możliwe odwzorowanie jedynie dla punktów, których Skale w kierunkach głównych oraz zniekształcenia w tym odwzorowaniu wyniosą:
- wydłużenie w kierunku południków,
- wydłużenie w kierunku równoleżników.
Zniekształcenie kąta będzie równe:
czyli - kąty ulegają zmniejszeniu.
Skala pola będzie równa: - powiększenie pola powierzchni.
W rzycie środkowym koła wielkie (ortodromy) odwzorowują się jako linie proste.
Rzut stereograficzny…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)