To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Kolokwium nr 1 – 4.04.2011
Systemy dynamiczne – równania różniczkowe – równanie stanu
Zadadanie 1 (10pkt)
Na polu bitwy spotkały się dwie armie – Polan, o liczności P0 , i German, o liczności G0 . Przez
P (t) oraz G(t) oznaczmy wielkość armii w chwili t Polan i German, odpowiednio. Prędkość zmiany
liczności armii Polan jest proporcjonalna do wielkości armii German z dokładnością do parametru
λG ze znakiem minus. Podobnie, prędkość zmiany liczności armii German jest proporocjonalna do
wielkości armii Polan z dokładnością do parametru λP ze znakiem minus. Oba parametry λG i λP
odpowiadają za efektywność obu armii. a) (2pkt) Zapisać równanie stanu oraz podać warunki po˙
˙
czątkowe (tj. P (0), G(0), P (0), G(0)). b) (4pkt) Przekształcić równanie stanu do postaci równania
różniczkowego drugiego rzędu dla P (t). c) (4pkt) Wyznaczyć transformatę Laplace’a dla P (t).
Rozwiązanie:
a)
dP (t)
= −λG G(t)
dt
dG(t)
= −λP P (t)
dt
oraz warunki początkowe:
P (0) = P0
G(0) = G0
˙
P (0) = −λG G0
˙
G(0) = −λP P0
b) Biorąc:
G(t) = −
1 dP (t)
λG dt
i wstawiając do drugiego równania mamy
1 d2 P (t)
−
= −λP P (t).
λG dt2
Porządkując ostatecznie otrzymujemy
d2 P (t)
− λP λG P (t) = 0.
dt2
1
Analogicznie:
d2 G(t)
− λP λG G(t) = 0.
dt2
c) Licząc transformatę Laplace’a mamy
s2 P (s) − sP (0) −
dP (0)
− λP λG P (s) = 0
dt
i porządkując
P (s)(s2 − λP λG ) − sP0 + λG G0 = 0
P (s) =
sP0
λG G0
− 2
.
s2 − λP λG s − λP λG
Zadanie 2 (10pkt)
W sztywnym przewodzie hydraulicznym o kształcie walca i promieniu r pomiędzy dwoma zbiornikami przepływa ściśliwy płyn doskonały. Przewód taki modelujemy jako sumę spadku ciśnienia
związanego z masą, tzn. mh dI(t) , oraz spadku ciśnienia związanego ze ściśliwością płynu, tzn.
dt
V (t)
.
Ch
Suma spadków równa jest sile tłoczącej płyn działającej na przekrój przewodu, tzn.
Zależność natężenia przepływu od objętości przepływu wyraża się wzorem I(t) =
dV (t)
.
dt
F (t)
.
πr2
a) (2pkt)
Sformułować równanie różniczkowe drugiego rzędu dla V (t). b) (3pkt) Wyznaczyć transmitancję układu. c) (5pkt) Korzystając z tranformaty Laplace’a wyznaczyć odpowiedź układu na siłę
tłoczącą F (t) = mh 1(t). Przyjąć zerowe warunki początkowe.
Rozwiązanie:
a)
mh
d2 V (t)
V
F (t)
+
=
2
dt
Ch
πr2
b) Licząc transformatę Laplace’a
mh s2 V (s) +
1
1
V (s) = 2 F (s)
Ch
πr
i porządkując otrzymujemy
V (s)(s2 +
1
1
)=
F (s).
mh Ch
mh πr2
Ostatecznie transmitancja układu wynosi
1
V (s)
m πr2
= K(s) = 2 h 1 .
F (s)
s + m h Ch
c) Licząc transformatę Laplace’a wejścia mamy
F (s) = mh
2
1
s
i wstawiając ją do transmitancji otrzymujemy
V (s) = K(s)F (s) =
1
πr2
s(s2 +
.
1
)
mh Ch
Dalej rozbijamy na ułamki proste
1
πr2
s(s2 +
gdzie A =
mh Ch
,
πr2
1
)
mh Ch
B = − mh Ch , C = 0.
πr2
V (s) =
=
A
Bs + C
,
+ 2
s
s + mh1Ch
Zatem
mh Ch 1 mh Ch
s
−
1 .
2 s
2 s2 +
πr
πr
mh Ch
Ostatecznie, stosując transformatę odwrotną, mamy
V (t) =
mh Ch
mh Ch
1(t) −
cos
2
πr
πr2
1
t .
mh Ch
Liniowe zadanie najmniejszych
(…)
… macierz diagonalną o wyrazach wnn na diagonali, dla n = 1, . . . , N .
Q(a) =
Rozwiązanie:
Liczymy gradient z kryterium jakości Q i przyrównujemy do zera:
a Q(a)
= −ΦT W(y − Φa) + Va = 0,
3
dalej przekształcając otrzymujemy postać:
(ΦT WΦ + V)a = ΦT Wy,
i ostatecznie wyznaczamy wartość a:
a = (ΦT WΦ + V)−1 ΦT Wy.
Zadanie 4
Dla następujących punktów z płaszczyzny XY :
x
-1
0
1
y
0
2
1
dopasować elipsę…
…
,
ΦT Φ =
,
3
−1 2
Ostatecznie wyznaczamy parametry elipsy:
3 2
(ΦT Φ)−1 ΦT =
a = (ΦT Φ)−1 ΦT y =
Elipsa ma zatem równanie:
,
2 2
0
1
0
1
2
−1
1
2
4
−7
2
7
y 2 = − x2 + 4,
2
które możemy przekształcić do bardziej naturalnej postaci:
7 2 1 2
x + y = 1.
8
4
4
.
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)