1 Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Statystyka w IŚ 1. Pomoce naukowe (wymagają zainstalowania wtyczki Wolfram CDF Player) http://demonstrations.wolfram.com/MaximumLikelihoodEstimation/ http://demonstrations.wolfram.com/MaximumLikelihoodEstimatorsWithNormallyDistributedError/ http://demonstrations.wolfram.com/MaximumLikelihoodEstimationForCoinTosses/ http://demonstrations.wolfram.com/UnbiasedAndBiasedEstimators/ 2. Definicje Jeżeli X 1, X 2, …, Xn jest ciągiem niezależnych obserwacji losowych ze zbiorowości, w której dystrybuanta zmiennej losowej X jest równa F ( x ) i jeżeli mechanizm doboru obserwacji jest taki, że każda ze zmiennych losowych X i (i=1,2,…,n) ma dystrybuantę F(x), to ciąg odpowiednich wyników obserwacji x 1, x 2, …, xn nazywać będziemy statystyczną próbą prostą o dystrybuancie F ( x ). 3. Wzory Własności wartości oczekiwanej: n n p x p x p x X E 2 2 1 1 ) ( 1) E ( c )= c gdzie c jest stałą 2) E ( X 1+ X 2+...+ Xn )= E ( X 1)+ E ( X 2)+...+ E ( Xn ) 3) E ( X 1∙ X 2∙...∙ Xn )= E ( X 1) ∙ E ( X 2) ∙...∙ E ( Xn ) 4) E ( c ∙ X )= c ∙ E(X) Własności wariancji: 2 2 2 ) ( ) ( )) ( ( ) ( X E X E X E X E X V 1) V( c )=0 gdzie c jest stałą 2) V( c ∙ X )= c 2 ∙V (X) 3) V( X 1+ X 2+...+ Xn )= V ( X 1)+V E ( X 2)+...+ V ( Xn ) (tylko jeśli zmienne są niezależne) Metoda momentów: Momenty z próby: Zwykły: n i k i k x n M 1 1 Centralny: n i k i k x x n N 1 ) ( 1 Momenty rozkładu: 2 Zwykły: dx x f x M k k ) ( Centralny: dx x f X E x N k k ) ( )) ( ( Metoda najmniejszych kwadratów: Kryterium błędu kwadratowego: n i k i k h x E 1 2 2 1 2 1 ) ,..., , ( ) ,..., , ( Poszukuje się takich wartości estymatorów k ,..., , 2 1 ,dla których: min ) ,..., , ( 2 1 k E Metoda największej wiarygodności: Wiarygodność próby prostej dla gęstości prawdopodobieństwa: n i k i x f L 1 2 1 ) ,..., , ; (
(…)
…
0,44298
12 4,741361128 - 4,989679089
21
0,105
0,422845
Zaproponuj rozkład prawdopodobieństwa, któremu może podlegać zaprezentowana zmienna losowa
i określ jego parametry metodą momentów.
0
1
Rozwiązanie: Rozkład jednostajny: f ( x)
b a
0
Momenty : Q
1
N
k
p i Q s ,i , s 2
i 1
1
N
k
p
i 1
i
xa
a xb
xb
(Qs ,i Q ) 2
Q 3,5696 , s2=0,8179
Równania dla momentów:
3
b
q f…
…
n ln( ) xi n xi
i 1
d
d
i 1
d 2 ln( L)
d n n
n
xi 2
2
d i 1
d
d ln( L)
0
d
1 n
n xi 0
n
1
i 1
n
xi
i 1
n
n
xi
i 1
d 2 ln( L)
n
Druga pochodna
2 0 jest zawsze mniejsza od zera więc obliczona wartość jest
2
d
maksimum.
5) Dokonano 1000 pomiarów natężenia pewnej wielkości fizycznej. Wyniki pomiarów…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)