Rozdział 11 Rachunek prawdopodobieństwa 11.1 Definicje • Liczbę permutacji zbioru k elementowego określamy jako liczbę moż- liwych uporządkowań zbioru gdzie wszystkie elementy zbioru są rozróż- nialne. Wzór który podaje ilość takich permutacji to Pk = k ! . • Przykład . Na ile sposobów można uporządkowań zbiór {a, b, c} ? Na P 3 = 3! = 6 sposobów. Wypiszmy je: {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}. • Wariacją z powtórzeniami podzbioru k elementowego ze zbioru n elementowego, nazywamy liczbę możliwych uporządkowań takiego pod- zbioru. Ponieważ za każdym razem wylosowany element wraca do orygi- nalnego n elementowego zbioru, w następnym losowaniu raz jeszcze ma- my n możliwości. Ponieważ powtarzamy takie losowanie k razy - liczba możliwych uporządkowań dana jest wzorem W k n = n k . • Przykład . Na ile sposobow możemy wybrać podzbiór dwuelementowy, losując ze zwracaniem ze zbioru {a, b, c} . 69 70 ROZDZIAŁ 11. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zgodnie z powyższym wzorem takich uporządkowań jest W 2 3 = 2 3 = 8. Wypiszmy je {a, a}, {a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, b}, {b, c}, {c, a}, {c, b}, {c, c}. • Wariacją bez powtórzeń podzbioru k elementowego ze zbioru n ele- mentowego, nazywamy liczbę możliwych uporządkowań k elementowego podzbioru, kiedy po wylosowaniu elementu ze zbioru n , nie wraca on już do oryginalnego zbioru. Wzór który podaje ilość takich wariacji to V k n = n ! ( n − k )! . • Przykład . Na ile sposobow możemy wybrać podzbiór dwuelementowy, losując bez zwracania ze zbioru {a, b, c} . Zgodnie z powyższym wzorem takich uporządkowań jest V 2 3 = 3! 1! = 3 · 2 = 6. Wypiszmy je {a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, c}, {c, a}, {c, b}. • Kombinacją k elementów ze zbioru n elementowego, nazywamy liczbę możliwych wyborów podzbiorów k elementowych ze zbioru n elemento- wego. Wzór który podaje ilość takich kombinacji zapisujemy nastepująco C k n = n ! ( n − k )! k ! . Warta podkreślenia jest różnica pomiędzy kombinacjami a wariacjami bez powtórzeń. Można przyjąć, że licząc wariacje bez powtórzeń istotna jest dla nas również kolejność pojawiania się danych elementów, czyli, że np. podzbiory {a, b} i {b, a} to dwa różne uporządkowania. Licząc natomiast kombinacje będziemy utożsamiali te dwie możliwości. Znajduje to zresztą wyraz we wzorach. Zauważmy bowiem, że V k n = n ! ( n − k )! = n ! ( n − k )! k ! (
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)