Matematyka - przykładowe zadania z całek

1. Oblicz całki:
x2
a)
dx,
(17 + x3 )2008
e2
d)
e
b)
cos3 x
dx,
sin x
c)
sin 2x
dx,
1 + sin x
1
1
dx,
x ln x
x2 e−2x dx.
e)
0
2. Dany jest obszar D ograniczony krzywymi y = x2 −4x+2 i y = −x+2.
a) Oblicz pole obszaru D.
b) Wyznacz wartość a ∈ (0, 2) taką, że pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x2 − 4x + 2, y = −x + 2, x = 0, x = a wynosi 7 .
6
3. Zbadaj zbieżność całek:
−6
x
a)
dx,
2 − 6x + 8
−∞ x
∞√ x
e dx
d) 1
∞
√
− x
e
b)
∞
dx,
c)
0
1
ex
dx,
(ex − 1)2
Odpowiedzi
1.
1
+ c,
−6021(17 + x3 )2007
b) 1 cos2 x−ln | cos x|+c, wsk: podstawić t = cos x (z sin x też wychodzi,
2
ale jest wiecej liczenia)
c) 2 sin x − 2 ln |1 + sin x| + c, wsk. podstawić t = sin x,
a)
d) ln 2, e)
1
4
5
− 4 e−2 ,
2. a) P = 9 ,
2
1
x2 e−2x dx = − 4 e−2x (2x2 + 2x + 1) + c.
b) a = 1.
3.
a) całka rozbieżna,
b) całka zbieżna,
c) całka zbieżna,
d) całka rozbieżna,
2
x
dx = ln (x−4)
(x−2)(x−4)
|x−2|
√
√ √
− x
− x
dx = −2e
e
ex
(ex −1)2
√
( x + 1) + c
∞
ex
dx
1 (ex −1)2
dx = − ex1 + c,
−1
ex dx =
+c
x
x
e 2 dx = 2e 2 + c.
=
1
e−1
... zobacz całą notatkę