Matematyka

Zagadnienia dostępne w notatce: Iloczyn kartezjański. Podstawowe własności. Przykład; Definicja relacji na zbiorach. Rodzaje relacji; Relacja równoważności. Relacja „przystawania modulo m”; Definicja odwzorowania. Funkcja. Rodzaje odwzorowań; Superpozycja odwzorowań. Podstawowe własności. Przykład; Funkcje ciągłe. Twierdzenia o funkcjach ciągłych; Nieciągłość funkcji. Rodzaje nieciągłości. Zilustrować możliwe przypadki na wykresach; Ekonomiczna interpretacja pochodnej; Podstawowe twierdzenia o pochodnych funkcji jednej zmiennej; Zapis macierzowy układu równań. Możliwości rozwiązania.

Dodatkowo ściąga zawiera liczne wzory.

1 Iloczyn kartezjański. Podstawowe własności. Przykład.
Symbolem (a,b) oznaczać będziemy parę uporządkowaną elementów a i b, natomiast iloczyn kartezjański zbiorów A i B opatrzymy symbolem AxB Parą uporządkowaną (a,b) nazywamy taki dwuelementowy zbiór {a,b}, w którym określony został porządek przez wskazanie elementu pierwszego w parze (a,b) = {{a},{a,b}}. Element a nazywamy poprzednikiem natomiast element b następnikiem. Pary uporządkowane nazywamy równymi, jeżeli posiadają równe poprzedniki i równe następniki tzn. (a1,b1) = (a2,b2) ⇔ (a1=a2) ∧ (b1=b2).
Iloczynem kartezjańskim (produktem kartezjańskim) zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (a,b) takich, że a∈A i b∈B, tzn. AxB={(a,b);a∈A ∧ b∈B}
Definicję iloczynu kartezjańskiego można uogólnić dla n zbiorów A1,A2,...,An, gdzie n≥2. Iloczynem kartezjańskim A1 x A2 x ... x An nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych układów n-elementowych (a1,a2,...an) takich, że ai∈ Ai dla i=1,2,...,n.
Własności : 1. AxB ≠ BxA nie jest na ogół przemienny; przemienny tylko gdy A=B 2. Jeżeli zbiory A i B są skończone i zbiór A składa się z m-elementów, a zbiór B z n-elementów, to iloczyn kartezjański AxB złożony jest z m*n elementów A={1,2,3 ... m}, B={1,2,3... n} Am x Bn = Cm*n
3. Jeżeli A=B to otrzymamy tzw. kwadrat iloczynu kartezjańskiego AxA=A2
4. Jeżeli mamy A1, A2...An to iloczyn kartezjański A1 x A2 x...x An = {(a1, a2,..., an); a∈A, a1∈A1, a2∈A2, an ∈An} nazywamy n-krotnym iloczynem kartezjańskim - An.
Przykład : A= {1,2,3}, B={1,2} AxB= {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}
2 Definicja relacji na zbiorach. Rodzaje relacji.
Relacją określoną w zbiorze A nazywamy każdy niepusty podzbiór iloczynu kartezjańskiego AxA, tzn. R⊂AxA. Relacją pomiędzy elementami zbiorów A i B nazywamy każdy niepusty podzbiór R iloczynu kartezjańskiego AxB, tzn. R⊂AxB. Przynależność paty uporządkowanej (a,b) do relacji R określać będziemy także stwierdzeniem „element a pozostaje w relacji R z elementem b” lub krócej „a jest w relacji R z b” i piszemy aRb⇔(a,b)∈R
Rodzaje relacji :
a) relacja mniejszości R1 x∈A y∈B (x,y)∈R1 ⇔ x<y
b) relacja równości R2 x∈A y∈B (x,y)∈R2 ⇔ x=y
c) relacja większości R3 x∈A y∈B (x,y)∈R3⇔ x>y
1. Relację R określoną w zbiorze A nazywamy relacją zwrotną ⇔ gdy a∈A aRa (a,a)∈R
2. relacja symetryczna a,b∈A aRb→bRa (a,b)∈R→(b,a)∈R
3. relacja przechodnia a,b,c∈A (aRb)∧(bRc)→(aRc)
Jeżeli relacja dwuargumentowa jest 1., 2., 3. To jest równoważnościowa.
Relacją R określoną na iloczynie kartezjańskim AxA nazywamy dwuelementową relacją określoną na zbiorze A R⊂ AxA = A2 (B=A)
3 Relacja równoważności. Relacja „przystawania modulo m”.

(…)

… wierszy(kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku jej wyznacznika.
8) Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza(kolumny) można wynieść przed znak wyznacznika.
9) Jeżeli kolumna(wiersz) złożony jest z samych zer, to wyznacznik równa się 0.
38 Pojęcie układu równań liniowych. Podstawowe definicje i własności. Wzory Cramera.
Def. Układem równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układ postaci…
… ...... .. ...... ...... ....... ... ..
an1x1 + an2x2 +...+ annxn = bn nazywamy układem równań Cramera, jeśli wyznacznik macierzy głównej jest różny od 0 A≠0
Tw. Cramera. Układ równań liniowych, gdzieA≠0, ma dokładnie jedno rozwiązanie: xj =Aj/A(j=1,2,...,n). Macierz Aj powstaje przez zastąpienie j-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych b.
39 Przekształcenie liniowe przestrzeni. Interpretacja.
Niech V i U będą dowolnymi…
… Rozwiązywanie dowolnego układu równań liniowych niejednorodnych. W przypadku, gdy co najmniej jedna współrzędna wektora b jest różna od zera, wtedy układ nazywamy układem równań liniowych niejednorodnych. Problem rozwiązania takiego układu równań rozstrzyga tw. Kraneckera-Capellego układ równań ma rozwiązanie ⇔ gdy macierze główna i uzupełniona są równe. Gdy rzędy macierzy są równe liczbie niewiadomych…
…) parametrów i odrzucając (m-r) równań. Przykład {; A=[] ⇒A=3*3*0+(-2)*(-1)*2+1*(-1)*2-2*3*2+3*(-1)*(-1)+
1*(-2)=0+4+(-2)-12-3=2-15=-13
Rozwiązywanie metodą Cramera: xi=Ai/A wyznacznikAiotrzymujemy zastępując i-tą kolumnę wyznaczników wyrazem wolnym.A1==-26→x1=-26/-13=2 A2==0→ x2=0/-13=0 A3==13→ x3=13/-13=-1 42 Układ równań liniowych jednorodnych. Układ fundamentalny rozwiązań.
Def. Układ równań…
… Jeśli wyznacznik A układu równań liniowych Ax=b jest różny od 0 to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie, określone wzorami x1= A1/A, x2=A2/A,...,xn=An/A, gdzie Aj=(j=1,2,...,n) jest wyznacznikiem powstałej macierzy A w wyniku zastąpienia jej j-tej kolumny wektora wyrazów wolnych b.
Def. Jeśli kolumna b jest kolumną zerową to układ równań nazywamy jednorodnym. Posiada on zawsze rozwiązanie.
Def…
… an>M
Ciąg liczbowy {an} nazywamy rozbieżnym do -∞ (limn→∞an=-∞) ↔ M<0 δ>0 n>δ an<M
Jeżeli ciąg {an} jest roznieżny do +∞ lub -∞ to wówczas ciąg {1/an} jest zbieżny do zera.
13 Definicja granicy funkcji jednej zmiennej. Podać interpretację geometryczną.
Wg Cauchy'ego: Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(x) w punkcie x0, wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε>0 istnieje taka liczba δ>0, że dla dowolnego punktu x należących do sąsiedztwa S(x0,δ) ,wartość funkcji f(x) należy do otoczenia punktu g o promieniu ε, tzn limx→x0 f(x)=g. ↔ ε>0 δ>0 x∈S(x0,δ) f(x)-g<ε W def. granicy funkcji wg. Cauchy`ego użyta została metryka jednowymiarowej przestrzeni euklidesowej, tzn.wartość f(x) należy do otoczenia σ(g,ε) punktu g o promieniu ε wtedy i tylko wtedy gdy d[f(x),g]=f(x)-g<ε
14 Granice lewo i prawostronne funkcji jednej zmiennej.
Liczbę p nazywamy prawostronną granicą funkcji f(x) w punkcie x0 [p=limx→x0f(x)] ↔ istnieje taka liczba δ>0, że dla każdego ciągu {xn}, którego wyrazy należą do prawostronnego sąsiedztwa punktu x0 o promieniu δ,zbieżnego do x0, ciąg wartości funkcji {f(xn)} jest zbieżny do punktu p tzn: limx→x0+f(x)=p↔δ>0 xn limn→∞xn=x0→limn→∞f(xn )=p limx→0+1/x=+∞
Analogicznie zdefiniować możemy lewostronną granicę funkcji f(x) w punkcie x0 limx→x0-f(x)=q↔δ>0 xn limn→∞xn=x0→limn→∞ f(xn)=q limx→0−1/x=-∞
15 Granice niewłaściwe funkcji jednej zmiennej. Zilustrować na wykresach.
Def. Mówimy, że funkcja f(x) posiada w punkcie x0, granicę niewłaściwą +∞ lub-∞ ↔ istnieje taka liczba δ>0, że dla każdego ciągu argumentów {xn} o wyrazach x∈S(x0,δ), zbieżnego do x0, ciąg wartości funkcji {f…
…) jest ciągła i różniczkowalna w przedziale <a,b> to istnieje taki punkt c należący do (a,b), że zachodzi :=f'(c ). Wnioski: Jeżeli dla każdego x∈(a,b) jest f'(x)>0 to funkcja f(x) jest rosnąca w przedziale (a,b). Jeżeli f'(x)<0 to funkcja jest malejąca...
23 Wyprowadzić podstawowe wzory na pochodne funkcji elementarnych jednej zmiennej. 1) y=xn y'=nxn-1 2) (ax)1=axlna 3) y=1/x; y'=(1/x)'=(x-1)'=-1x-2=-1/x2 4…
… przy niewiadomych lub macierzą układu równań
x=wektor niewiadomych b=wektor wyrazów wolnych
Postać macierzowa Ax=b
Rozwiązywanie układu Cramera jest wtedy gdy macierz A jest macierzą osobliwą, czyli ilość niewiadomych jest równa ilości równań, Ai≠0. Ponieważ A≠0 istnieje macierz odwrotna A-1 do macierzy A. Rozwiązanie ma postać x=A-1*b, które jest jedynym rozwiązaniem tego układu. Wzory Cramera: Tw.1…
…)*A=a*A+b*A (a,b∈R)
a*(A+B)=a*A+a*B (a∈R)
(a*b)*A=a*(b*A) a,b∈R
(A+B) T=A T+B T (a*A)T=a*A T a∈R
A*(B*C)=(A*B)*C
A*(B+C)=A*B+A*C
(a*A)*B=A*(a*b)=a*(A*B) a∈R
A*B≠B*A
I*A=A*I=A
A*0=0*A=0
45 Macierz odwrotna do danej. Podstawowe własności macierzy odwrotnych.
Def. Macierz kwadratową B stopnia n nazywamy macierzą odwrotną do kwadratowej i nieosobliwej macierzy A stopnia n, jeśli AB=BA=In.
(A-1) -1=A
(AB) -1 =B…
…-1A-1 (AT) -1 =(A-1) T (A+B) -1 =A-1+B-1 (cA) -1 =cA-1 A-1=1/A
B*A-1=A-1*B=B/A
46 Pojęcie całki nieoznaczonej i funkcji pierwotnej. Funkcją pierwotną danej funkcji jednej zmiennej y=f(x) określonej w pewnym obszarze domkniętym nazywamy taką funkcję F(x) określoną w tym obszarze, której pochodna jest równa f(x) czyli różniczka tej funkcji równa się f(x)dx. F'(x)=f(x) lub F(x)=f(x)dx…
... zobacz całą notatkę