To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Macierze Witam w naszym drugim odcinku małego poradnika matematycznego. Poprzednim razem powiedzieliśmy sobie sporo na temat wektorów i wszelakich operacji, jakie na nich przeprowadzać. No ale jak już od dawna wiemy, samymi wektorami to My wiele nie naszalejemy. Kiedyś nasze statyczne sceny zaczną nam się w końcu nudzić i zapragniemy, żeby coś się na nich ruszało. Będziemy musieli oczywiście przebrnąć przez masę wzorów i układów równań, ale jest coś, co niewątpliwie nam pomoże. Tym czymś są macierze. Żeby jednak nie być gołosłownym i nie zaczynać wszystkiego z powietrza na początek parę słów ską d, jak i po co. Czym zatem jest macierz. Jeśli patrzylibyśmy w stronę poprzedniego tutorialu to można by powiedzieć, że jest to również tablica. Tylko, że tym razem jest to tablica prostokątna. Co to znaczy. Jest to tablica dwuwymiarowa, czyli posiadająca tak zwane wiersze i kolumny. Wiemy, że wektor ma kolejne składowe, po prostu oznaczone kolejnymi numerami 1, 2, 3, ... itd. W macierzy jest troszkę inaczej. Aby jednak sobie dokładnie to uzmysłowić może pokażmy sobie przykładową macierz. W macierzy może być dowolna ilość kolumn i wierszy, podobnie jak w wektorze może istnieć dowolna ilość elementów. My oczywiście będziemy się posługiwać macierzami o ściśle określonym rozmiarze. Zanim jednak zaczniemy tworzyć nasze pierwsze macierze najpierw kilka słów. Poszczególne elementy macierzy mogą być liczbami rzeczywistymi. Ktoś może się zastanawiać po co w ogóle są one nam potrzebne. Na pierwszy rzut oka wygląda to jak wymysł chorego matematycznego umysłu i kolejny, zupełnie bezużyteczny bajer. Jednak jak dalej się przekonamy właściwie dzisiaj bez macierzy nie istniałaby współczesna grafika 3D. Macierze są wymarzonym narzędziem do przeprowadzania obliczeń i rozwiązywania równań. Łatwość ich implementacji w komputerowym świecie i zoptymalizowane szybkościowo algorytmy operacji na nich powodują to, że i my nie będziemy się bez nich mogli obejść. No ale przed nami jeszcze daleka droga. Podobnie jak w przypadku wektorów na macierzach będziemy mogli sobie wykonywać pewne operacje. Właściwie trudno zwykłemu śmiertelnikowi wyobrazić sobie co można zrobić z takim tworem, ale paradoksalnie im bardziej skomplikowane coś w matematyce tym więcej z tym można zrobić ;). Cóż my więc możemy ? A no zacznijmy podobnie jak z wektorami. • Dodawanie. Po pierwsze macierze możemy dodawać. Podobnie jak z wektorami nie będzie to dodawanie zwyczajne. Macierze, aby móc być dodane będą musiały spełniać określone warunki. Aby dodać do siebie dwie macierze muszą one być dokładnie tego samego rozmiaru czyli mieć taką samą liczbę wierszy i kolumn. Nie można dodać macierzy, które różnią się od siebie rozmiarami ( oczywiście taki sam przypadek będzie miał miejsce przy odejmowaniu ). Poniższy przykład pokazuje jak mają się do siebie poszczególne składniki macierzy przed i po dodaniu. Widać tutaj oczywiście coraz większe skomplikowanie działań, ale nie jest to jeszcze nic tragicznego. Myślę, że dodawanie jest w miarę proste, prawda ? Identycznie jak w przypadku wektorów suma ( ewentualnie różnica ) odpowiadających sobie składowych macierzy tworzy odpowiedni element w nowo powstającej macierzy.
(…)
… wątpliwości mam nadzieję co do samej istoty tej operacji, która nie jest jakaś zbytnio trudna:
• Macierz jednostkowa
Ciekawym przypadkiem w naszych rozważaniach jest tak zwana macierz jednostkowa. Charakteryzuje się ona tym, że po pierwsze jest macierzą kwadratową, po drugie wszystkie wartości składników macierzy mają wartość zero, prócz tych, które znajdują się na przekątnej. Przekątna macierzy…
… składniki macierzy przed i po dodaniu. Widać tutaj oczywiście coraz większe skomplikowanie działań, ale nie jest to jeszcze nic tragicznego. Myślę, że dodawanie jest w miarę proste, prawda ? Identycznie jak w przypadku wektorów suma ( ewentualnie różnica ) odpowiadających sobie składowych macierzy tworzy odpowiedni element w nowo powstającej macierzy.
• Mnożenie macierzy przez skalar.
Podobnie jak wektor możemy też macierz pomnożyć lub podzielić przez wartość skalarną. Odbywa się to także niemal identycznie jak w przypadku wektora - po prostu bierzemy każdy element macierzy i mnożymy go przez podaną liczbę. Poniższe równania doskonale ilustrują te działania i myślę, że są one zupełnie dla wszystkich mam nadzieję zrozumiałe.
• Mnożenie macierzy.
Bardzo ważna i niesamowicie często przez nas wykorzystywana sprawa jest mnożenie macierzy przez siebie. W przeciwieństwie do dodawania, mnożenie ma tę ( nie wiem czy można to tak nazwać ;) zaletę, że macierze nie muszą być dokładnie tego samego rozmiaru ale muszą spełniać pewne inny warunek bez którego ich mnożenie nie byłoby możliwe. Otóż, aby pomnożyć dwie macierze przez siebie to liczba kolumn w pierwszej musi być równa liczbie wierszy w macierzy drugiej…
… ). I tak możemy się bawić aż wszystkie elementy macierzy będą już na swoich miejscach. Każdy początkujący programista na studiach na pewno nie raz złorzeczył na funkcje do mnożenia macierzy. Ale w grafice jest to jedna z najbardziej podstawowych operacji i na pewno umiejętność mnożenia macierzy przyda nam się bardzo w przyszłości. Tak więc na pewno warto przyswoić sobie tą operację bliżej i zapamiętać…
… takie przejścia na studiach. Ale w ramach wolnego czasu lub dla sportu można spróbować i potem na przykład sprawdzić sobie w Matlabie albo Mathcadzie, ale to już zostawiam wam i waszej silnej woli. Jeśli pragniecie sami spróbować swoich sił w liczeniu wyznaczników to polecam jakąś grubszą książkę do algebry liniowej i zapoznanie się na przykład z rozwinięciami Laplace'a. Zaś przykładowy wyznacznik naszej…
… kombinacji. Dodatkowym warunkiem jest wyznacznik tej macierzy różny od zera. Jeśli spełniamy wszystkie te warunki to macierz odwrotna będzie zdefiniowana następująco. Jeśli pomnożymy dwie macierze A i B przez siebie i w wyniku tego mnożenia dostaniemy macierz jednostkową to będzie znaczyło tyle, że macierz B jest odwrotna do macierzy A i możemy ją zapisać jako A(-1). Fakt tego, że A*B daje nam macierz…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)